可除群

• 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  对加法构成可除群。
• 一般而言，任何 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间对加法都构成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ 。
• p-Prüfer 群 ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty }):=\{e^{\frac {2i\pi }{p^{m}}}:m\in \mathbb {N} _{\geq 0}\}}$  是可除群
• 在模型论中，任何存在性封闭的群皆可解。

令 ${\displaystyle G}$  为可解群，则其挠子群 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$  亦可除。由于可解群是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -内射模，${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$  是直和项，即：

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$ 

商群 ${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)}$  亦可解，而且其中没有挠元，所以它是 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -上的向量空间：存在集合 ${\displaystyle I}$  使得

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$ 

挠子群的结构稍复杂，然而可以证明对所有素数 ${\displaystyle p}$ ，存在 ${\displaystyle I_{p}}$  使得

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$ 

其中 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G))_{p}}$  是 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$  是的 ${\displaystyle p}$ -准素部分。于是：

${\displaystyle G=(\oplus _{P}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})})\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$ 

一个环 ${\displaystyle R}$  上的左可除模是满足 ${\displaystyle \forall r\neq 0\in R,\;rM=M}$  的模 ${\displaystyle M}$ 。可除群不外是可除 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。主理想域上的可除模恰好是内射模。