剩余有限群

在数学的群论中，一个群G称为剩余有限群，如果对G中每个非单位元g，都有一个群同态h从G到一个有限群，使得

剩余有限群有数个等价定义：

  • 对群中每个非单位元，有一个有限指数的正规子群不包括该元素。
  • 群中所有有限指数的子群的交是平凡的。
  • 群中所有有限指数的正规子群的交是平凡的。
  • 这个群可以嵌入到一族有限群的直积中。

例子

剩余有限群的例子有：有限群、自由群、有限生成幂零群、 polycyclic-by-finite群，有限生成线性群、3-流形的基本群。

剩余有限群的子群是剩余有限，剩余有限群的直积是剩余有限。任何剩余有限群的逆极限也是剩余有限。特别地，所有投射有限群都是剩余有限群。

投射有限拓扑

用下列方式能使任何群G成为一个拓扑群：取G中全部有限指数的正规子群，为G的单位元e的开邻域。如此得出的拓扑称为G的投射有限拓扑（profinite topology）。一个群G是剩余有限群，当且仅当G的投射有限拓扑是豪斯多夫的。

外部链接

  • Magnus, Wilhelm. Residually Finite Groups (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1969, 75 (2): 305–316 [2013-08-26]. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-14）.