葛仑斯坦环

对于局部环 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},k)}$ ，葛仑斯坦局部环的古典定义是：${\displaystyle R}$  是科恩-麦考利环，而且存在 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$  中的 ${\displaystyle R}$ -正则序列，使之生成一个不可约理想。在 ${\displaystyle R}$  为有限维诺特环时，下述性质等价：

• ${\displaystyle R}$  的内射维度有限，记为 ${\displaystyle n}$ 。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，当 ${\displaystyle i\neq n}$  时，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ ，而且 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k}$ 。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，当 ${\displaystyle i>n}$  时，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ 。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，对某个 ${\displaystyle i>n}$  有 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ 。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，当 ${\displaystyle i<n}$  时，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ ，而且 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k}$ 。

此时 ${\displaystyle R}$  是 ${\displaystyle n}$ -维葛仑斯坦环。

若一个环（不一定交换）视为左 ${\displaystyle R}$ -模及右 ${\displaystyle R}$ -模的内射维度皆有限，则称之为葛仑斯坦环。

• 完全交环
• 正则局部环

• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6