克拉莫-克若尼关系式

给定一复数变数${\displaystyle \omega }$ 的复值函数${\displaystyle {\chi (\omega )}=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ ，其中${\displaystyle \chi _{1}}$ 和${\displaystyle \chi _{2}}$ 是实值函数。假设此函数${\displaystyle \chi (\omega )}$ 在复数平面上半部可析，且当${\displaystyle |\omega |}$ 趋向无限大时，它在上半平面趋于零的速度比${\displaystyle 1/|\omega |}$ 快或与之相等，那么${\displaystyle \chi (\omega )}$ 满足以下关系：

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '}$ 

和

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',}$ 

其中${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 表示柯西主值。因此可析函数的实部和虚部并不独立：函数的一部分可以重建整个函数。

推导克喇末-克勒尼希关系式是留数定理的基本应用。对任何复面上半可析函数${\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })}$ 和实数${\displaystyle \omega }$ 函数${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}}$ 在复面上半可析。留数定理得到对任何在复面上半的积分路径：

${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0}$ 

选用实轴上的路径、跳过任何实轴上极点、再以复面上半圆完成。把积分分解成三部分。其中半圆部分长度和${\displaystyle |\omega |}$ 成正比，因此只要${\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })}$ 消失比${\displaystyle {1}/{\omega ^{\prime }}}$ 快，对半圆部分积分趋向零。因此积分只剩实轴上直线部和跳过极点的小半圆：

${\displaystyle \oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.}$ 

以上第二项留数定理^[1]的结果。重组后得到克喇末-克勒尼希关系式：

${\displaystyle \chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.}$ 

分母里的虚数${\displaystyle i}$ 意味者这是连系实部和虚部的公式。把${\displaystyle \chi (\omega )}$ 分解成实部和虚部可轻易得到更早的公式。

可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数${\displaystyle \chi (t-t^{\prime })}$ 概括系统对在时间${\displaystyle t^{\prime }}$ 的作用力${\displaystyle F(t^{\prime })}$ 在另一时间${\displaystyle t}$ 的反应${\displaystyle P(t)}$ ：

${\displaystyle P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }}$ 

因为系统不能在施力前有任何反应因此当${\displaystyle t^{\prime }>t}$ ，${\displaystyle \chi (t-t^{\prime })=0}$ 。 可以证明这因果关系意味着${\displaystyle \chi (\tau )}$ 的傅立叶变换${\displaystyle \chi (\omega )}$ 在${\displaystyle \omega }$ 复面上半可析。另外如果我们施加系统一个远高于它最高共振频率的高频作用力，此时作用力转换太快而系统不能即时做出反应，因此${\displaystyle \omega }$ 很大时，${\displaystyle \chi (\omega )}$ 会趋近于0。从这些物理考量，可知物理反应函数${\displaystyle \chi (\omega )}$ 通常符合克喇末-克勒尼希关系式的前提条件。

反应函数${\displaystyle \chi (\omega )}$ 的虚部和作用力异相。它概括系统如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希关系，我们可以透过观察系统能量消耗而得到它对作用力的同相（不做功）反应，反之亦然。

上述函数的积分路径是从${\displaystyle -\infty }$ 到${\displaystyle \infty }$ ，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为${\displaystyle \chi (\omega )}$ 是实数变量${\displaystyle \chi (t-t')}$ 的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$ ，${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ 是频率${\displaystyle \omega }$ 的偶函数，而${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ 是${\displaystyle \omega }$ 的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为${\displaystyle [0,\infty )}$ 的区间上。考虑实部${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ 的第一个关系，积分函数上下同乘${\displaystyle \omega '+\omega }$ 可得：

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$ 

由于${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ 为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$ 

类似的推导亦可用于虚部：

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$ 

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。