阿尔泽拉-阿斯科利定理

以下的定义在定理的叙述和证明中会不断使用到。^[7]

等度连续

设 K 和 X 是两个度量空间，${\displaystyle C(K,X)}$ 是搜集所有从 K 到 X 的连续映射的所形成的集合。如果 ${\displaystyle C(K,X)}$ 的一个子集 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  满足

对所有 ${\displaystyle x\in K}$ 和 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在一个 x 的邻域 ${\displaystyle U_{x}}$ ，使得对所有 ${\displaystyle y\in U_{x}}$  和 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ ，都有 ${\displaystyle d\left(f(y),f(x)\right)<\epsilon }$ 

则称 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是等度连续的。

一致有界与逐点有界

设 K 是一个度量空间，${\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}$ 是搜集所有 K 上的实连续函数。设 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是 ${\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}$ 的一个子集

• 如果存在 ${\displaystyle M>0}$ ，使得对所有 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}},x\in K}$ 都有 ${\displaystyle |f(x)|<M}$ ，则称 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是一致有界的。
• 如果对所有 ${\displaystyle x\in K}$ ，都有 ${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty }$ ，则称 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是逐点有界的。

注意到一致有界可推得逐点有界，此外，如果已知 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是等度连续且 K 是完全有界（英语：totally bounded space） (比如说紧致) 的，则一致有界当且仅当逐点有界。

实数域上的情况

这是最简单的情况，此时阿尔泽拉-阿斯科利定理的可以叙述为^[8]

考虑一个定义在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$  上的实函数序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 。如果${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 是逐点有界且等度连续的，那么在这个函数序列中，必定存在一个子序列 ${\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}$ 是一致收敛的。另一方面，如果 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$  的任何子序列${\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}$ 都有一个一致收敛的子序列${\displaystyle \{f_{n_{k_{r}}}\}_{r\in \mathbf {N} }}$ ，则 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 是逐点有界且等度连续的。

例子

设 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$  是一个逐点有界、可微分，并且导数是一致有界的函数序列，即${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}},x\in K}|f'(x)|<\infty }$ ，则可以证明 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 也是等度连续的，因此满足阿尔泽拉-阿斯科利定理的条件。所以它拥有一个一致收敛的子序列^[7]。

紧度量空间和紧豪斯多夫空间

对于一般的度量空间，阿尔泽拉-阿斯科利定理断言^[8]

设 ${\displaystyle X}$  为一个紧度量空间，${\displaystyle Y}$  为一个完备的度量空间，那么 ${\displaystyle C(X,Y)}$ 的子集 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 在紧致开拓扑中是紧致的当且仅当它是等度连续、完全有界的闭集。

这里，${\displaystyle C(X,Y)}$  表示从 ${\displaystyle X}$ 射到 ${\displaystyle Y}$ 的连续函数的集合。而它的子集 ${\displaystyle F}$  被称作完全有界当且仅当 ${\displaystyle \forall x\in X}$ ，集合 ${\displaystyle \{f(x):f\in F\}}$ 都是 ${\displaystyle Y}$ 中相对紧致的子集。如果一个集合 A 在紧致开拓扑中是紧致的，那么 A 中的所有序列都拥有一个在 A 中一致收敛的子序列。

更广泛地，对于 X 是紧豪斯多夫空间的情况，定理一样成立：^[9]

设 ${\displaystyle X}$  为一个紧豪斯多夫空间，那么 ${\displaystyle C(X,Y)}$  的子集 ${\displaystyle F}$  在紧致开拓扑中是紧致的当且仅当它是等度连续、完全有界的闭集。

阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上，连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说，函数的取值空间可以换为豪斯多夫的拓扑向量空间，这时仍然有基本相同的定理^[10][11]。

以下证明在實數域上的叙述。

必要性

该定理的必要性比较显然，实用价值也比较小^[12]。事实上，由紧度量空间 X 到完备的度量空间 Y 的任何一列连续映射序列 {f_n} 如果在 X 上一致收敛，那么它收敛到一个连续映射 f. 由紧度量空间上，连续映射 f 的一致连续性和收敛的一致性，可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质，可以推出该序列完全有界。^[7]

若集合 F 中的映射不一致有界，则由定义，对任意 n∈N, 存在 F 中的映射 f_n，其范数大于n, 于是 {f_n} 的任意一个子列都不是完全有界的，故任意子列都非一致收敛，与假设矛盾。若集合 F 中的映射不等度连续，则存在 ε>0，对任意的 n∈N，存在 x_1, x₂ 和集合中某个映射 f_n，满足 d(x₁,x₂) < 1/n，但 d(f_n(x₁), f_n(x₂)) ≥ ε. 这样，{f_n} 的任意一个子列都不是等度连续的，从而任意子列都非一致收敛，同样与假设矛盾。^[7]

充分性

充分性的证明用到了对角论证法^[12]。若紧度量空间 X 是个有限集，则充分性显然。因此，设 X 是个无穷集，由 X 的紧致性可知，存在在 X 中稠密的序列 ${\displaystyle E=\{x_{k}\}_{k\in \mathbf {N} }}$ 。

考虑 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中任意一个映射序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 。由于 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  是逐点有界的，序列 ${\displaystyle \{f_{n}(x_{1})\}}$  在 Y 中是有界的。根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理和 Y 的完备性，该序列拥有收敛的子列，记作${\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{1})\}}$ 。而序列${\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{2})\}}$ 又存在收敛的子列，记作 ${\displaystyle \{f_{n}^{2}(x_{2})\}}$  … 。如此重复，即得到了一系列的映射序列 ${\displaystyle \{f_{n}^{1}\},\{f_{n}^{2}\},\{f_{n}^{3}\},\dots }$ 。考虑其中对角线元素 ${\displaystyle g_{n}=f_{n}^{n}}$ 所构成的序列${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 。则对于序列 E 中任意一点 ${\displaystyle x_{k}}$ ，序列 ${\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\geq k}}$ 是 ${\displaystyle \{f_{n}^{k}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 的子序列，因此序列 ${\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 收敛。^[7][12]

给定 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，因为 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是等度连续的，延用等度连续定义里的 ${\displaystyle U_{x}}$ ，所以 ${\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in [a,b]}}$ 是 ${\displaystyle [a,b]}$  区间的一个开覆盖。由于 ${\displaystyle [a,b]}$  区间是紧致的，存在有限集 ${\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{l}\}}$ 使得 ${\displaystyle [a,b]=\bigcup _{i=1}^{l}U_{\xi _{i}}}$ 。因为 E 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 中是稠密的，所以 E 有一个子集 ${\displaystyle \{x_{n_{1}},\dots ,x_{n_{l}}\}}$ 满足 ${\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{\xi _{i}}}$ 。由 ${\displaystyle g_{n}}$  在 E 中各点的收敛性可知，对每个 ${\displaystyle x_{n_{i}}}$ ，存在 ${\displaystyle N_{i}}$ ，使得对任一对比 ${\displaystyle N_{i}}$ 大的正整数对 m 和 n 都有 ${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }$ 。定义 ${\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq l}N_{i}}$ ，则前一句话中的 ${\displaystyle N_{i}}$ 可以改成 N。^[7][12]

对 X 中每个点 x，存在一个 ${\displaystyle \xi _{i}}$ 使得 ${\displaystyle x\in U_{\xi _{i}}}$ 。而对于任何比 N 大的正整数对 m 和 n，都有 ${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }$ ，此外由

${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }$ 、${\displaystyle |g_{m}(x)-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }$ 、${\displaystyle |g_{n}(x_{n_{i}})-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }$ 、${\displaystyle |g_{n}(x)-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }$ 

可知 ${\displaystyle |g_{m}(x)-g_{n}(x)|<5\epsilon }$ 。^[7][12]

因此，${\displaystyle \{g_{n}\}}$ 是一个 ${\displaystyle C([a,b])}$ 上的柯西列，因为 ${\displaystyle [a,b]}$ 是完备的可推得 ${\displaystyle C([a,b])}$ 也是，所以 ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ 是 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ 的一致收敛子序列。^[7][12]

1. ^ Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
2. ^ Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159 .
3. ^ Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74 .
4. ^ O. Williamson. The Arzel-Ascoli Theorem (PDF). Department of Mathematics and Statistics University of Reading. 2014-03-03 [2017-03-12]. ^{[永久失效链接]}
5. ^ 丁同仁. 常微分方程教程. 高等教育出版社. 2004: 70-74. ISBN 9787040143690. 
6. ^ Louis Auslander. Unitary Representations of Locally Compact Groups: The Elementary and Type I Theory. Department of Mathematics, Yale University. 1962. 
7. ^ ^{7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7} 卓里奇. 数学分析 2. 高等教育出版社. 2006: 348-350. ISBN 9787040202571. 
8. ^ ^{8.0 8.1} Ascoli-Arzelà theorem. PlanetMath. [2017-03-11]. （原始内容存档于2017-03-12）. 
9. ^ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience
10. ^ Kelley, J. L.; Namioka, I. (1982), Linear Topological Spaces, Springer-Verlag, ISBN 9780080527314. 

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