一致有界性原理

设 X 和 Y 为两个巴拿赫空间。假设 F 为由 X 映向 Y 的若干个连续线性算子的集合。若对于 X 中的任意一个 x ，都有

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$ 

则

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$ 

证明

由于 X 完备，利用贝尔纲定理可以得到以下简短的证明。

假定对于 X 中的任意一个 x, 都有

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$ 

对任意整数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ 记

${\displaystyle X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.}$ 

则 ${\displaystyle X_{n}}$  为闭集，且由假设有

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .}$ 

贝尔纲定理适用于非空的完备空间 X, 故存在 m 使得 ${\displaystyle X_{m}}$  的内部非空，即存在 ${\displaystyle x_{0}\in X_{m}}$  和 ε > 0 使得

${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.}$ 

设 u ∈ X 满足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 则有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[T{\text{ 為 線 性 }}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ 因 為 }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}}$ 

使 u 历遍 X 的单位球，并取遍 ${\displaystyle T\in F,}$  得到

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .}$ 

因此定理成立。

也有无需贝尔纲定理的简单证明，例如 （Sokal 2011）.

该定理可以推出：若一列有界算子 (T_n) 逐点收敛，即对 X 的任意元素 x, 序列 (T_n(x)) 都收敛，则该列有界算子的逐点极限定义了另一个有界算子 T.

注意上述推论并未断言 T_n 在算子范数的意义下收敛到 T, 即：在有界集上一致收敛。然而，由于 (T_n) 在算子范数意义下有界，且其极限算子为一个连续算子 T, 可以利用标准的 "3-ε" 技巧证明，在任意紧集上，均有 T_n 一致收敛到 T.

另一推论为：赋范空间 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是，可以将 S 看成巴拿赫空间 X = Y* (Y的连续对偶）上逐点有界的一族连续线性算子。由一致有界性原理，S 的元素（视为 X 的线性泛函）的算子范数（即双对偶 Y** 上的范数）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在双对偶空间的范数，等于其于原空间 Y 的范数。

记 L(X, Y) 为自 X 映向 Y 的连续线性算子空间（赋以算子范数）。若族 F 为 L(X, Y) 的无界子集，则由一致有界性原理，有：

${\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing }$ 

更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的补集是 ∪X_n, 故为闭集 X_n 的可数并。按照定理的证明过程，每个 X_n 都无处稠密，故 ∪X_n 为第一纲集。所以 R 是贝尔空间中一个第一纲集的补集。根据贝尔空间的定义，这样的集（称为剩余集）是稠密的。如此推理可得奇点凝聚原理，即：

若 X 为巴拿赫空间，{Yn} 为一系列赋范空间，Fn 为 L(X, Yn) 的无界子集，则集合 ${\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} ,\;\sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}}$  为第二纲集，因此在 X 中稠密。

原因是，R 的补集可以写成第一纲集的可数并

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}.}$ 

因此其剩余集 R 稠密。

设 ${\displaystyle \mathbb {T} }$  为单位圆，${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$  为 ${\displaystyle \mathbb {T} }$  上连续函数在一致范数意义下组成的巴拿赫空间。由一致有界性原理，可以证明 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$  中有一个元素，其傅立叶级数不逐点收敛。

对 ${\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),}$  其傅立叶级数定义为

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},}$ 

而级数的第 N 阶对称部分和为

${\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,}$ 

其中 D_N 为第 N 阶狄利克雷核。选定 ${\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}$  然后考虑序列 (S_N(f)(x)) 的收敛性。以下式定义泛函 ${\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\rightarrow \mathbb {C} }$  ：

${\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),}$ 

则 φ_N,x 有界。而 φ_N,x 于 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$  的对偶空间的范数，是带号测度（英语：Signed measure） (2π)⁻¹D_N(x−t) dt 的范数，故

${\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}$ 

可以验证

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}$ 

故族 {φ_N,x} 是 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast }}$  (${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$  的对偶）的无界子集。因此，由一致有界性原理可知，对任意 ${\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}$ 傅立叶级数于 x 发散的连续函数在 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$  中稠密。

也可运用奇点凝聚原理来得出更强的结论。设 (x_m) 为 ${\displaystyle \mathbb {T} }$  中的稠密序列。如上定义 φ_N,xm. 则由奇点凝聚原理，傅立叶级数于每一个 x_m 都发散的连续函数在 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$  中稠密。（然而要注意，根据卡尔松定理（英语：Carleson's theorem），一个连续函数 f 的傅立叶级数，几乎于每一点 ${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$  都收敛到 f(x).

受最少限制，而类似结论仍然适用的空间，是桶型空间（英语：Barrelled space）。其上的一致有界性原理为（Bourbaki 1987，Theorem III.2.1）:

给定桶型空间 X 和局部凸空间（英语：locally convex space）Y, 则任意一族由 X 映向 Y 的逐点有界的连续线性算子都等度连续。

若把 X 换成一个贝尔空间而保持 Y 为局部凸的，则结论同样成立。（Shtern 2001）

Dieudonné (1970) 证明了 Fréchet 空间（英语：Fréchet space）上一个较弱的结论：

若 X 为 Fréchet 空间， Y 为赋范空间，H 为由 X 映向 Y 的若干连续线性算子组成的集合，其满足对 X 中的任意元素 x，

${\displaystyle \sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,}$ 

则族 H 等度连续。

• 桶型空间（英语：Barrelled space）是具有最少条件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓扑向量空间。

• Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], （原始内容存档 (PDF)于2019-05-01） . （法文）
• Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6 
• Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 .
• Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 .
• Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585  , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .