波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的有界序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 都至少包含一个收敛的子列。^[1]:56

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的有界闭集必然序列紧致。^[1]:163

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的一个子集${\displaystyle E}$ 是序列紧致的，当且仅当${\displaystyle E}$ 是有界闭集。^[1]:163

任何实数列必然包含单调的子列。^[1]:55

设有实数列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ，定义集合：${\displaystyle X=\{a_{k};\ \forall n\geq k,\ a_{k}\geq a_{n}\}}$ 。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。

• 如果${\displaystyle X}$ 中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ 的子列，并且单调递减，构造完毕。
• 如果${\displaystyle X}$ 中元素个数有限，那么设${\displaystyle N}$ 为${\displaystyle X}$ 中元素的下标中最大的一个。对任意${\displaystyle n>N}$ ，考虑${\displaystyle a_{n}}$ ，${\displaystyle a_{n}}$ 不在集合${\displaystyle X}$ 中，所以${\displaystyle a_{n}}$ 之后至少会有一个元素大于${\displaystyle a_{n}}$ 。换句话说，序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 里面排在${\displaystyle a_{N}}$ 后面的任一元素，它后面都必然还有一个比它大的元素。于是取${\displaystyle k_{0}=N+1}$ ，${\displaystyle \scriptstyle k_{1}>k_{0}}$ 为第一个大于${\displaystyle a_{k_{0}}}$ 的元素的下标，${\displaystyle \scriptstyle k_{2}>k_{1}}$ 为第一个大于${\displaystyle a_{k_{1}}}$ 的元素的下标，依此类推，就可以得到${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 的一个单调递增的子列。

综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。

先考虑一维（也就是${\displaystyle n=1}$ ）的情况。给定有界的实数列${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ ，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。

对于高维（${\displaystyle n\geqslant 2}$ ）的情况，证明的思路是取多次子列。

设${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(a_{1k},a_{2k},\cdots ,a_{nk})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{n}}$ 为一个有界序列，则${\displaystyle n}$ 个实数列${\displaystyle (a_{ik})_{k\in \mathbb {N} },1\leq i\leq n}$ 都是有界数列。于是存在${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ 的子列${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$ 使得${\displaystyle (a_{1\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$ 收敛。但是${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$ 仍是有界数列，因而存在子列${\displaystyle (a_{\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$ 使得${\displaystyle (a_{2\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{\in \mathbb {N} }}$ 也收敛（注意这里${\displaystyle (a_{1\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$ 必然是收敛的）。在进行类似的${\displaystyle n}$ 次操作后，我们就可以得到一个子列，使得${\displaystyle \forall 1\leq i\leq n,\ (a_{i\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$ 都收敛，也就是说存在子列${\displaystyle \ (a_{\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$ 收敛。证毕。

设${\displaystyle K}$ 为度量空间${\displaystyle (E;\;d)}$ 的子集。若${\displaystyle K}$ 中任一序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 都包含一个收敛的子列，其极限也是${\displaystyle K}$ 中元素，就称${\displaystyle K}$ 具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。^[1]:598