黎曼映射定理

设${\displaystyle D:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ 为开圆盘，${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ 为单连通开子集。若${\displaystyle \Omega \neq \mathbb {C} }$ ，则存在一对一的全纯映射${\displaystyle f:\Omega \to D}$ ，使${\displaystyle f^{-1}:D\to \Omega }$ 亦全纯。换言之，${\displaystyle \Omega }$ 与${\displaystyle D}$  双全纯同构。

注意到二维的全纯映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度与定向不变。

黎曼在他1851年的博士论文中陈述了这个结果，但其证明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年发表了第一个完整证明。

• 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般无法具体表示从${\displaystyle \Omega }$ 至${\displaystyle D}$ 的全纯映射。
• 定理中对${\displaystyle \Omega }$ 的条件极宽松；举例明之，${\displaystyle \Omega }$ 的边界可能是碎形曲线，但${\displaystyle \Omega }$ 仍可透过共形映射映至单位圆盘，这在直观上是很难想像的。
• 此定理对${\displaystyle \pi _{1}(\Omega ,*)=\mathbb {Z} }$ 时即告失效：环型区域（形如${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :r<|z|<R\}}$ ）之间的共形映射仅有反演、缩放与旋转。
• 此定理在更高维度即不成立。
• 在黎曼曲面的框架下，此定理可推广为单值化定理：单连通黎曼曲面必同构于${\displaystyle \mathbb {C} ,D}$ 或${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ 。

给定${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle z_{0}}$ ，我们希望构造一个函数${\displaystyle f}$ ，它把${\displaystyle U}$ 映射到单位圆盘，把${\displaystyle z_{0}}$ 映射到${\displaystyle 0}$ 。在这个证明概要中，我们假设${\displaystyle U}$ 是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})\exp(g(z))\,\!}$ 

其中${\displaystyle g=u+iv}$ 是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为${\displaystyle u}$ ，虚数部分为${\displaystyle v}$ 。于是显然z₀是f的唯一一个零点。我们要求对于${\displaystyle U}$ 的边界上的${\displaystyle z}$ 有${\displaystyle |f(z)|=1}$ ，因此我们需要在边界上有${\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|}$ 。由于${\displaystyle u}$ 是全纯函数的实数部分，我们知道${\displaystyle u}$ 一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数${\displaystyle u}$ ，对所有的${\displaystyle U}$ 都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数${\displaystyle g}$ 的柯西-黎曼方程便允许了我们求出${\displaystyle v}$ （这个论证依赖于${\displaystyle U}$ 是单连通的假设）。一旦构造了${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ ，我们还需要验证所得到的函数${\displaystyle f}$ 确实满足所有需要的性质。

• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, 互联网档案馆）, Göttingen, 1851