黎曼映射定理

数学中,黎曼映射定理复分析最深刻的定理之一,此定理分类了单连通开子集。

定理陈述

 为开圆盘, 单连通开子集。若 ,则存在一对一的全纯映射 ,使 亦全纯。换言之,   双全纯同构

注意到二维的全纯映射不外乎保持定向的共形映射,它保持角度定向不变。

简史

黎曼在他1851年的博士论文中陈述了这个结果,但其证明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年发表了第一个完整证明。

注记

  • 黎曼映射定理乃是存在性定理,一般无法具体表示从  的全纯映射。
  • 定理中对 的条件极宽松;举例明之, 的边界可能是碎形曲线,但 仍可透过共形映射映至单位圆盘,这在直观上是很难想像的。
  • 此定理对 时即告失效:环型区域(形如 )之间的共形映射仅有反演缩放旋转
  • 此定理在更高维度即不成立。
  • 黎曼曲面的框架下,此定理可推广为单值化定理:单连通黎曼曲面必同构于  

证明概要

给定  ,我们希望构造一个函数 ,它把 映射到单位圆盘,把 映射到 。在这个证明概要中,我们假设 是有界的,且其边界是光滑的,就像黎曼所做的那样。记

 

其中 是某个(待确定的)全纯函数,其实数部分为 ,虚数部分为 。于是显然z0f的唯一一个零点。我们要求对于 的边界上的  ,因此我们需要在边界上有 。由于 是全纯函数的实数部分,我们知道 一定是一个调和函数,也就是说,它满足拉普拉斯方程

于是问题变为:存在某个实值调和函数 ,对所有的 都有定义,且具有给定的边界条件吗?狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在,全纯函数 柯西-黎曼方程便允许了我们求出 (这个论证依赖于 是单连通的假设)。一旦构造了  ,我们还需要验证所得到的函数 确实满足所有需要的性质。

文献

  • John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, 互联网档案馆), Göttingen, 1851