直言三段论

三段论形式如下：

大前提：所有M是P

小前提：所有S是M

结论：所有S是P

其中S代表结论的主词（Subject），P代表结论的谓词（Predicate），M代表中词（Middle）。

三段论的命题可分为全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，组合起来有以下四类语气（Mood）：

类型	代号	形式	范例
全称肯定型	A（SaP）	所有S是P	所有人是会死的
全称否定型	E（SeP）	没有S是P	没有人是完美的
特称肯定型	I（SiP）	有些S是P	有些人是健康的
特称否定型	O（SoP）	有些S不是P	有些人不是健康的

三段论中，结论中的谓词称作大词（P，或称大项），包含大词在内的前提称作大前提；结论中的主词称作小词（S，或称小项），包含小词在内的前提称作小前提；没有出现在结论，却在两个前提重复出现的称作中词（M，或称中项）。大词、中词、小词依不同排列方式，可分成四种格（Figure）：

	第1格	第2格	第3格	第4格
大前提	M-P	P-M	M-P	P-M
小前提	S-M	S-M	M-S	M-S
结论	S-P	S-P	S-P	S-P

将以上整合在一起，三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一，又可分为4格，故总共有256种三段论（若考虑大前提与小前提对调，便有512种，但逻辑上是相同的）。

三段论依语气与格的分类缩写，例如AAA-1（也可以写成1-AAA）代表“大前提为A型，小前提为A型，结论为A型，第1格”的三段论。

此外，三段论的四种格之间可相互转换：

• 第1格：对换大前提的前后两项的位置就变成第2格，对换小前提的前后两项的位置就变成第3格。
• 第2格：对换大前提的前后两项的位置就变成第1格，对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
• 第3格：对换大前提的前后两项的位置就变成第4格，对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
• 第4格：对换大前提的前后两项的位置就变成第3格，对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。

E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题（E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的O命题）。O命题不能对换前后两项的位置。

考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。

还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

作为文氏图方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。

最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用这些规则来检验有效性。

基本规则：

1. 结论中周延的词必须在前提中周延（谬误：大词不当、小词不当）（若不能确定所有提及的集合非空，则一个项在结论中周延，当且仅当该项在前提中周延）
2. 中词必须周延至少一次（谬误：中词不周延）（若不能确定所有提及的集合非空，则中词必须刚好周延一次）
3. 结论中否定命题的数目必须和前提中否定命题的数目相等：
   1. 二前提皆肯定，则结论必须为肯定（谬误：肯定前提推得否定结论）
   2. 一前提是否定，则结论必须为否定（谬误：否定前提推得肯定结论）
   3. 二前提皆否定，则三段论必无效（谬误：排它前提谬误）
4. 结论中特称命题的数目必须和前提中特称命题的数目相等：
   1. 二前提皆全称，则结论必须为全称（此条件适用于不能确定所有提及的集合非空的情况）
   2. 一前提是特称，则结论必须为特称
   3. 二前提皆特称，则三段论必无效

若一个三段论式满足以上的所有规则，就必定有效。

其他检查：

• 如果语境上不能假设所有提及的集合非空，部分推论将会无效（谬误：存在谬误）
• 必须包含严格的三个词，不多不少。且须注意所有关键词和结构的语义是否一致（谬误：四词谬误、歧义谬误）

有效三段论式

有加括号者必须假设所有提及的集合非空才有效。

唯有第一格的所有有效三段论式的结论涵盖了AEIO全部四种命题，第二格的所有有效三段论式皆为否定结论（E或O），第三格的所有有效三段论式皆为特称结论（I或O），第四格的所有有效三段论式皆为否定结论或特称结论（E、I或O）。

1-AAA, (1-AAI), 1-EAE, (1-EAO), 1-AII, 1-EIO
2-AEE, (2-AEO), 2-EAE, (2-EAO), 2-AOO, 2-EIO
(3-AAI), (3-EAO), 3-AII, 3-IAI, 3-OAO, 3-EIO
(4-AAI), 4-AEE, (4-AEO), (4-EAO), 4-IAI, 4-EIO

在全部256种三段论式中，有24种有效，但是如果不能确定所有提及的集合为非空，则只有15种有效。

常犯的无效三段论式

1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

总共有19个有效的论式（算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式则为24个有效论式，其中每一格刚好各有6个有效论式），为便于记忆，中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字，每个名字的元音即是对应的语气，例如Barbara代表AAA。

第1格	第2格	第3格	第4格
Barbara	Cesare	Darapti	Bramantip
Celarent	Camestres	Disamis	Camenes
Darii	Festino	Datisi	Dimaris
Ferio	Baroco	Felapton	Fesapo
		Bocardo	Fresison
		Ferison

经典三段论式

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

第1格

• AAA（Barbara）

所有M是P.
所有S是M.
∴所有S是P.

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}$ 

• EAE（Celarent）

没有M是P.
所有S是M.
∴没有S是P.

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}$ 

• AII（Darii）

所有M是P.
有些S是M.
∴有些S是P.

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$ 

• EIO（Ferio）

没有M是P.
有些S是M.
∴有些S不是P.

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

第2格

• EAE（Cesare）

没有P是M.
所有S是M.
∴没有S是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}$ 

• AEE（Camestres）

所有P是M.
没有S是M.
∴没有S是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}$ 

• EIO（Festino）

没有P是M.
有些S是M.
∴某些S不是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

• AOO（Baroco）

所有P是M.
某些S不是M.
∴某些S不是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land \lnot M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

第3格

• AAI（Darapti）

所有M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在。）^[2]

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$ 

• EAO（Felapton）

没有M是P.
所有M是S.
∴有些S不是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在。）^[3]

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

• IAI（Disamis）

有些M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.

${\displaystyle {\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))\qquad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$ 

• OAO（Bocardo）

某些M不是P.
所有M是S.
∴某些S不是P.

${\displaystyle {\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))\quad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

• AII（Datisi）

所有M是P.
有些M是S.
∴有些S是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$ 

• EIO（Ferison）

没有M是P.
有些M是S.
∴某些S不是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

增补的论式

第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充^[4]。

第4格

• AEE（Camenes）

所有P是M.
没有M是S.
∴没有S是P.

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}$ 

• AAI（Bramantip）

所有P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.
（这种形式需要假定某些P确实存在）^[5]

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$ 

• EAO（Fesapo）

没有P是M.
所有M是S.
∴有些S不是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在）^[3]

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

• IAI（Dimaris）

有些P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))}{\exists x(M(x)\land P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$ 

• EIO（Fresison）

没有P是M.
有些M是S.
∴有些S不是P.

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$ 

结论弱化的论式

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是： AAI-1（弱化的AAA-1），EAO-1（弱化的EAE-1），EAO-2（弱化的EAE-2），AEO-2（弱化的AEE-2），AEO-4（弱化的AEE-4）。

按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

• A（全称肯定）命题：所有X是Y，确定了X“包含于”Y的关系，X是Y的子集，Y是X的超集，这是一种偏序关系，所有X是Y并且所有Y是Z则所有X是Z，所有X是Y并且所有Y是X则X同于Y。
• E（全称否定）命题：所有X不是Y，确定了X和Y是“无交集”的关系，这是一种对称关系，所有X不是Y同于所有Y不是X。（X与Y无交集，Y与Z无交集，不能推出X与Z无交集）。
• I（特称肯定）命题：有些X是Y，确定了X和Y是“有交集”的关系，这是一种对称关系，有些X是Y同于有些Y是X。（X与Y有交集，Y与Z有交集，不能推出X与Z有交集）。
• O（特称否定）命题：有些X不是Y，确定了X“不包含于”Y的关系。（从X不包含于Y不能推出X包含Y）。

将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：

• A命题：所有X是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出肯定的Y，从否定的Y推出否定的X。
• E命题：所有X不是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出否定的Y，从肯定的Y推出否定的X。
• I命题：有些X是Y，它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。
• O命题：有些X不是Y，它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。

两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一（此为互斥前提谬误），IE的组合都得出P不包含于S结论，不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。

首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上，所以是可直接推出结论。AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含于P的关系；第4格AA组合推论出P包含于S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置，EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。

AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出 P不包含于S的结论，不属于四种命题之一。

其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。OAO-3是直接推出的，它没有等价者。AOO-2没有等价者，这里对A命题采用了否定后件推理，历史上采用反证法，假定结论O命题不成立，它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果，所以结论成立。

历史上，对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它们的拉丁语名字中的p所指示的，通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。

最后，有全称结论的5个论式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化结论可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效论式中。

下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。

• 直接推理
• 传统逻辑
• 谓词演算

• Aristotle, Prior Analytics. transl. Robin Smith（Hackett, 1989）Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. Irving Copi, 1969. Introduction to Logic, 3rd ed. Macmillan Company.
• Hamblin, Charles L., 1970. Fallacies, Methuen : London, Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. New York: Garland Publishers. 编辑
  • "Aristotle's Logic" article by Robin Smith in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
  • "The Traditional Square of Opposition" article by Terence Parsons in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
  • "Medieval Theories of the Syllogism" article by Henrik Lagerlund in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
  • Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism （页面存档备份，存于互联网档案馆） an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
  • Abbreviatio Montana （页面存档备份，存于互联网档案馆） article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
  • The Figures of the Syllogism （页面存档备份，存于互联网档案馆） is a brief table listing the forms of the syllogism.
  • www.fibonicci.co.uk/syllogisms some fun syllogism tests/quizzes
  • Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet

  传统逻辑：三段论

  形式：直言三段论 | 选言三段论 | 假言三段论 | 复合三段论 | 准三段论 | 统计三段论

  其他：对立四边形 | 布尔三段论 | 三段论谬论