直言三段论

直言三段论是所有前提都是直言命题演绎推理

例子:

所有动物都会死。
所有人都是动物。
所以,所有人都会死。

前两个命题被分别称为大前提小前提[1]。如果这个三段论是有效的,这两个前提逻辑上蕴含了最后的命题,它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上:中项在前提中必须周延(distribute)至少一次,形成在结论中的主词和谓词之间的连接。即使直言三段论是有效的,但如果有前提为假的话结论仍可能是假,例如以下的三段论:

所有的鱼都在水里游。
乌鸦是鱼。
所以,所有的乌鸦都在水里游。

此为第一格AAA三段论,为有效,但是因为前提是错的(乌鸦事实上不是鱼),因而导致结论为假。

语气和格

 
对立四边形图,揭示传统逻辑四种命题语气的关系(红色表示非空,黑色表示空)

三段论形式如下:

大前提:所有M是P
小前提:所有S是M
结论:所有S是P

其中S代表结论的主词Subject),P代表结论的谓词Predicate),M代表中词(Middle)。

三段论的命题可分为全称(universal)、特称(particular),及肯定、否定,组合起来有以下四类语气(Mood):

类型 代号 形式 范例
全称肯定型 A(SaP) 所有S是P 所有人是会死的
全称否定型 E(SeP) 没有S是P 没有人是完美的
特称肯定型 I(SiP) 有些S是P 有些人是健康的
特称否定型 O(SoP) 有些S不是P 有些人不是健康的

三段论中,结论中的谓词称作大词(P,或称大项),包含大词在内的前提称作大前提;结论中的主词称作小词(S,或称小项),包含小词在内的前提称作小前提;没有出现在结论,却在两个前提重复出现的称作中词(M,或称中项)。大词、中词、小词依不同排列方式,可分成四种(Figure):

第1格 第2格 第3格 第4格
大前提 M-P P-M M-P P-M
小前提 S-M S-M M-S M-S
结论 S-P S-P S-P S-P

将以上整合在一起,三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一,又可分为4格,故总共有256种三段论(若考虑大前提与小前提对调,便有512种,但逻辑上是相同的)。

三段论依语气与格的分类缩写,例如AAA-1(也可以写成1-AAA)代表“大前提为A型,小前提为A型,结论为A型,第1格”的三段论。

此外,三段论的四种格之间可相互转换:

  • 第1格:对换大前提的前后两项的位置就变成第2格,对换小前提的前后两项的位置就变成第3格。
  • 第2格:对换大前提的前后两项的位置就变成第1格,对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
  • 第3格:对换大前提的前后两项的位置就变成第4格,对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
  • 第4格:对换大前提的前后两项的位置就变成第3格,对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。

E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置,但可以在前项确实有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的I命题(E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的O命题)。O命题不能对换前后两项的位置。

有效性

考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。

还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

作为文氏图方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。

最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用这些规则来检验有效性。

基本规则:

  1. 结论中周延的词必须在前提中周延(谬误:大词不当小词不当)(若不能确定所有提及的集合非空,则一个项在结论中周延,当且仅当该项在前提中周延)
  2. 中词必须周延至少一次(谬误:中词不周延)(若不能确定所有提及的集合非空,则中词必须刚好周延一次)
  3. 结论中否定命题的数目必须和前提中否定命题的数目相等:
    1. 二前提皆肯定,则结论必须为肯定(谬误:肯定前提推得否定结论
    2. 一前提是否定,则结论必须为否定(谬误:否定前提推得肯定结论
    3. 二前提皆否定,则三段论必无效(谬误:排它前提谬误
  4. 结论中特称命题的数目必须和前提中特称命题的数目相等:
    1. 二前提皆全称,则结论必须为全称(此条件适用于不能确定所有提及的集合非空的情况)
    2. 一前提是特称,则结论必须为特称
    3. 二前提皆特称,则三段论必无效

若一个三段论式满足以上的所有规则,就必定有效。

其他检查:

  • 如果语境上不能假设所有提及的集合非,部分推论将会无效(谬误:存在谬误
  • 必须包含严格的三个词,不多不少。且须注意所有关键词和结构的语义是否一致(谬误:四词谬误歧义谬误

有效三段论式

有加括号者必须假设所有提及的集合非空才有效。

唯有第一格的所有有效三段论式的结论涵盖了AEIO全部四种命题,第二格的所有有效三段论式皆为否定结论(E或O),第三格的所有有效三段论式皆为特称结论(I或O),第四格的所有有效三段论式皆为否定结论或特称结论(E、I或O)。

1-AAA, (1-AAI), 1-EAE, (1-EAO), 1-AII, 1-EIO
2-AEE, (2-AEO), 2-EAE, (2-EAO), 2-AOO, 2-EIO
(3-AAI), (3-EAO), 3-AII, 3-IAI, 3-OAO, 3-EIO
(4-AAI), 4-AEE, (4-AEO), (4-EAO), 4-IAI, 4-EIO

在全部256种三段论式中,有24种有效,但是如果不能确定所有提及的集合为非空,则只有15种有效。

常犯的无效三段论式

1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

三段论式列表

总共有19个有效的论式(算结论弱化(全称弱化为特称)的5个论式则为24个有效论式,其中每一格刚好各有6个有效论式),为便于记忆,中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字,每个名字的元音即是对应的语气,例如Barbara代表AAA

第1格 第2格 第3格 第4格
Barbara Cesare Darapti Bramantip
Celarent Camestres Disamis Camenes
Darii Festino Datisi Dimaris
Ferio Baroco Felapton Fesapo
    Bocardo Fresison
    Ferison  

经典三段论式

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

第1格

  • AAA(Barbara)

所有M是P.
所有S是M.
∴所有S是P.

 

  • EAE(Celarent)

没有M是P.
所有S是M.
∴没有S是P.

 

  • AII(Darii)

所有M是P.
有些S是M.
∴有些S是P.

 

  • EIO(Ferio)

没有M是P.
有些S是M.
∴有些S不是P.

 

第2格

  • EAE(Cesare)

没有P是M.
所有S是M.
∴没有S是P.

 

  • AEE(Camestres)

所有P是M.
没有S是M.
∴没有S是P.

 

  • EIO(Festino)

没有P是M.
有些S是M.
∴某些S不是P.

 

  • AOO(Baroco)

所有P是M.
某些S不是M.
∴某些S不是P.

 

第3格

  • AAI(Darapti)

所有M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在。)[2]

 

  • EAO(Felapton)

没有M是P.
所有M是S.
∴有些S不是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在。)[3]

 

  • IAI(Disamis)

有些M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.

 

  • OAO(Bocardo)

某些M不是P.
所有M是S.
∴某些S不是P.

 

  • AII(Datisi)

所有M是P.
有些M是S.
∴有些S是P.

 

  • EIO(Ferison)

没有M是P.
有些M是S.
∴某些S不是P.

 

增补的论式

第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充[4]

第4格

  • AEE(Camenes)

所有P是M.
没有M是S.
∴没有S是P.

 

  • AAI(Bramantip)

所有P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.
(这种形式需要假定某些P确实存在)[5]

 

  • EAO(Fesapo)

没有P是M.
所有M是S.
∴有些S不是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在)[3]

 

  • IAI(Dimaris)

有些P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.

 

  • EIO(Fresison)

没有P是M.
有些M是S.
∴有些S不是P.

 

结论弱化的论式

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可弱化论式中的结论A为I,结论E为O,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。它们是: AAI-1(弱化的AAA-1),EAO-1(弱化的EAE-1),EAO-2(弱化的EAE-2),AEO-2(弱化的AEE-2),AEO-4(弱化的AEE-4)。

对附加的谓词演算公式的注解

按照布尔逻辑集合代数的观点,三段论可以解释为:集合)S和集合M有某种二元关系,并且集合P和集合M有某种二元关系,从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:

  • A(全称肯定)命题:所有X是Y,确定了X“包含于”Y的关系,X是Y的子集,Y是X的超集,这是一种偏序关系,所有X是Y并且所有Y是Z则所有X是Z,所有X是Y并且所有Y是X则X同于Y。
  • E(全称否定)命题:所有X不是Y,确定了X和Y是“无交集”的关系,这是一种对称关系,所有X不是Y同于所有Y不是X。(X与Y无交集,Y与Z无交集,不能推出X与Z无交集)。
  • I(特称肯定)命题:有些X是Y,确定了X和Y是“有交集”的关系,这是一种对称关系,有些X是Y同于有些Y是X。(X与Y有交集,Y与Z有交集,不能推出X与Z有交集)。
  • O(特称否定)命题:有些X不是Y,确定了X“不包含于”Y的关系。(从X不包含于Y不能推出X包含Y)。

将参与推理的命题分为两类:规则事实,全称命题是规则,而特称命题只陈述事实:

  • A命题:所有X是Y,它允许两个推理方向,从肯定的X推出肯定的Y,从否定的Y推出否定的X。
  • E命题:所有X不是Y,它允许两个推理方向,从肯定的X推出否定的Y,从肯定的Y推出否定的X。
  • I命题:有些X是Y,它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。
  • O命题:有些X不是Y,它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。

两个规则可以推出一个新规则,一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实,两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作,因为推出的是两个否定合取,不属于这四种命题之一(此为互斥前提谬误),IE的组合都得出P不包含于S结论,不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。

首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上,所以是可直接推出结论。AA组合推出A,其中只有AAA-1是合理的,它推论出S包含于P的关系;第4格AA组合推论出P包含于S的关系,这不是四种命题之一,只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E,其中EAE-1和AEE-4是直接推出的,其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置,EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。

AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出 P不包含于S的结论,不属于四种命题之一。

其他论式都是一个全称命题作为规则,而另一个特称命题提出两个事实的合取,规则消去一个事实形成一个新事实,从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的,其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置,AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。OAO-3是直接推出的,它没有等价者。AOO-2没有等价者,这里对A命题采用了否定后件推理,历史上采用反证法,假定结论O命题不成立,它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果,所以结论成立。

历史上,对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4,如它们的拉丁语名字中的p所指示的,通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的(直言的意思就是无条件),这个问题被称为存在性引入问题

最后,有全称结论的5个论式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化结论可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4,也可算入有效论式中。

24论式图示

下表以文氏图展示24个有效直言三段论,不同栏表示不同的前提,不同外框颜色表示不同的结论,需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。

AA AE AI AO EI
AAA AAI AEE AEO EAE EAO AII IAI AOO OAO EIO
1  
Barbara
 
Barbari
 
Celarent
 
Celaront
 
Darii
 
Ferio
2  
Camestres
 
Camestros
 
Cesare
 
Cesaro
 
Baroco
 
Festino
3  
Darapti
 
Felapton
 
Datisi
 
Disamis
 
Bocardo
 
Ferison
4  
Bamalip
 
Calemes
 
Calemos
 
Fesapo
 
Dimatis
 
Fresison

参见

注解

  1. ^ 中国社会科学院语言研究所词典编辑室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商务印书馆. : 1121-1122. ISBN 978-7-100-12450-8 (中文(大陆简体)). .......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如“凡金属都能导电”(大前提),“铜是金属”(小前提),“所以铜能导电”(结论)。....... 
  2. ^ 直接结论是:所有M是P且S.
  3. ^ 3.0 3.1 直接结论是:所有M是S且非P.
  4. ^ 亚里士多德前分析篇》里关于AEE-2的论证中,对小前提进行对换主词与谓词位置之后,得出第4格的AEE-4,亚里士多德称之为再次得到了第1格,没有因为大项和小项位置颠倒而专门称之为第4格。在亚里士多德的定义中第1格为中项既是一个前提的主词又是另一个前提的谓词。第4格中有4个论式是其他格的等价形式、1个论式是结论弱化形式,因此亚里士多德三段论体系并无缺失。
  5. ^ 直接结论是:所有P是S.

引用