最大模原理

复分析中,最大模原理说明,如果 f 是一个全纯函数且不是常数,那么它的在定义域内取不到局部最大值。

复变函数cos(z)的模的图像(红色),其中 z单位原盘(蓝色)取值。最大模原理表明:函数的模的最大值不能在圆盘内部取得(因此红色曲面的最高处在边缘上)。

换句话说,全纯函数 f 要么是常数函数,要么对于其定义域之内的任意点 z0,都存在任意靠近它的点 z,使得

正规陈述

设复值函数 f复平面 C连通开子集 D 上全纯。如果存在 ,使得对z0的某个邻域上的任意点 z 都有 (即 是模的局部最大值点),那么函数 fD 上的常数函数。

通过取倒数,可以得到等价的最小模原理:设f在有界区域D的内部全纯,并连续到D的边界上,而且没有零点,则|f(z)|的最小值在D的边界上取得。

另外,最大模原理可视为开映射定理的特殊情况,即非常数的全纯函数把开集映为开集。若|f|在点z处取得极大值,则z的一个充分小的开邻域的像不可能是开的。因此,f是常数。

证明概要

利用调和函数的最大值原理

用复变量自然对数的等式

 

推导出 调和函数。由于 z0 是这个函数的一个极大值,根据最大值原理 在定义域上是常数。因此,运用柯西-黎曼方程可以得到 ,于是f(z) 是常数函数。通过类似的论证可以得到,|f|的极小值只能在f(z)的孤立零点处取得。

物理解释

热传导方程可以给出这个原理的一个物理解释。由于 是调和函数,所以可以看作是区域D上的稳定态热流。假设区域D的内部取得严格最大值,则这一最大值点的热量会向周围传导,这与稳定态是相互矛盾的。

应用

最大模原理在复分析中有许多应用,可以用来证明:

参考来源

  • E.C. TitchmarshThe Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
  • E.D. Solomentsev, Maximum-modulus principle, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

外部链接