博雷尔-卡拉西奥多里定理此条目需要补充更多来源。 (2019年4月11日)请协助补充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索："博雷尔-卡拉西奥多里定理" — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。此条目已列出参考文献，但因为没有文内引注而使来源仍然不明。 (2019年4月11日)请加上合适的文内引注来改善这篇条目。在复分析中，博雷尔-卡拉西奥多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用，以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。 定理陈述 设函数 f {\displaystyle f} 在以原点为圆心以 R {\displaystyle R} 为半径的闭圆盘上解析。假设 r < R {\displaystyle r<R} ，则有以下不等式： ‖ f ‖ r ≤ 2 r R − r sup | z | ≤ R Re f ( z ) + R + r R − r | f ( 0 ) | {\displaystyle \|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|} 其中左边的范数是 f {\displaystyle f} 在闭圆盘上的最大值： ‖ f ‖ r = max | z | ≤ r | f ( z ) | = max | z | = r | f ( z ) | {\displaystyle \|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}{|f(z)|}=\max _{|z|=r}{|f(z)|}} 证明 定义 A = sup | z | ≤ R Re f ( z ) {\displaystyle A=\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}} 。 首先设 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 。由于 Re f {\displaystyle \operatorname {Re} {f}} 是调和的，可以取 A > 0 {\displaystyle A>0} 。 f {\displaystyle f} 映到直线 x = A {\displaystyle x=A} 左边的半平面 P {\displaystyle P} 。我们想把这个半平面映到圆盘上，再用施瓦茨引理，得到所要的不等式。 w ↦ w / A − 1 {\displaystyle w\mapsto w/A-1} 把 P {\displaystyle P} 变成标准左半平面。 w ↦ R ( w + 1 ) / ( w − 1 ) {\displaystyle w\mapsto R(w+1)/(w-1)} 把左半平面变成圆心在原点且半径为 R {\displaystyle R} 的圆。它们的复合映射把0映成0，就是所需要的映射： w ↦ R w w − 2 A {\displaystyle w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}} 对上面这个映射与 f {\displaystyle f} 的复合使用施瓦茨引理，得到 | R f ( z ) | | f ( z ) − 2 A | ≤ | z | {\displaystyle {\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|} 取 | z | < r {\displaystyle |z|<r} ，上式变为 R | f ( z ) | ≤ r | f ( z ) − 2 A | ≤ r | f ( z ) | + 2 A r {\displaystyle R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar} 所以 | f ( z ) | ≤ 2 A r R − r {\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}} 对于一般的情况，考虑 f ( z ) − f ( 0 ) {\displaystyle f(z)-f(0)} | f ( z ) | − | f ( 0 ) | ≤ | f ( z ) − f ( 0 ) | ≤ 2 r R − r sup | w | ≤ R Re ( f ( w ) − f ( 0 ) ) ≤ 2 r R − r ( sup | w | ≤ R Re f ( w ) + | f ( 0 ) | ) {\displaystyle {\begin{aligned}|f(z)|-|f(0)|&\leq |f(z)-f(0)|\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {(f(w)-f(0))}}\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {f(w)}+|f(0)|}\right)\\\end{aligned}}} 整理后即得所要证明的不等式。 参考资料 Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1. Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.