HNN扩张

若G为群，有展示G = 〈S|R〉，又若 α : H → K是G的两个子群间的群同构。设t为不在S中的新符号，定义

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t{\Big |}R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}$ 

群G∗_α称为G相对于α的HNN扩张。原本的群G称为G∗_α的基群，而子群H和K称为相伴子群。新的生成元t称为稳定字.

由于群G∗_α包念了G的所有生成元和关系元，所以将G的生成元等同于G∗_α的生成元，便诱导出从G到G∗_α的一个自然的群同态。Higman、Neumann、Neumann证明了这个群同态是群同构，因而是G到G∗_α中的嵌入。从上可得出一个结论是一个群中两个同构的子群，必定在某个母群中是共轭子群。这个构造法的原来目的是要证明这个结论。

Britton引理

HNN扩张的一个基础性质是一条正规形的定理，称为Britton引理。^[2]设G∗_α如上，w是在G∗_α中如下的一个乘积：

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}$ 

Britton引理可表述为：

Britton引理 若在G∗_α中w = 1，则

• n = 0，且在G中g₀ = 1
• 或是n > 0，且对某个i ∈ {1, ..., n−1}有下列两者之一

1. ε_i = 1, ε_i+1 = −1, g_i ∈ H,
2. ε_i = −1, ε_i+1 = 1, g_i ∈ K.

Britton引理用逆反命题可表述为：

Britton引理（另一形式）设w满足以下其中一项

• n = 0，且g₀ ≠ 1 ∈ G，
• 或n > 0，且w不包含如下的子字串：tht⁻¹，其中h ∈ H；及t⁻¹kt，其中k ∈ K，

则在G∗_α中w ≠ 1。

HNN扩张的大多数基本性质，都可以从Britton引理得出。这些结果包括：

• 从G到G∗_α的自然群同态是内射，所以可以将G∗_α视作包含G为子群。
• G∗_α中任何一个有限阶元素，是共轭于G中的某个元素。
• G∗_α中任一个有限子群都共轭于G中某个有限子群.
• 若H ≠ G及K ≠ G，则G∗_α有子群同构于秩2的自由群。

HNN扩张是Higman证明Higman嵌入定理的主要工具。这定理说任何有限生成递归展示群可嵌入到一个有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一个有限展示群，有算法不可判定（英语：algorithmically undecidable）的字问题，这定理的现代证明大多数都倚赖于HNN扩张。

HNN扩张和带共合的自由积两者都是讨论在树上作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。^[3]

HNN扩张是群的图的基本群的初等例子。