高欧拉商数

高欧拉商数（highly totient number）k是有以下性质，大于1的正整数：使以下方程式有多个解

φ(x) = k

其中φ是欧拉函数，而且若k用其他较小的整数代入时，解的个数都会比刚刚的个数要少。

例如方程式φ(x) = k，在k=1,2,3,4,5,6,7,8时，分别有2,3,0,4,0,4,0,5个解，φ(x) = 8有5个解，若代入小于8的数值，解都少于5个，因此8是高欧拉商数。

头几个高欧拉商数是：

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 （OEIS数列A097942）.

分别使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72个解。若将使φ(x) = k分别恰有0个解、1个解、2个解……的最小k值组成一个数列，则高欧拉商数会是此数列的一个子集^[1]。例如8为高欧拉商数，φ(x) = 8有5个解，表示任何小于8的整数都无法使φ(x) = k有5个解，因此8是使φ(x) = k有5个解的最小k值。

若x的质因数分解为${\displaystyle x=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}}}$，其欧拉商数为以下的乘积：

${\displaystyle \phi (x)=\prod _{i}(p_{i}-1)p_{i}^{e_{i}-1}.}$

因此，高欧拉商数和较小的整数相比，高欧拉商数可以表示为更多种以上式表示的乘积。

高欧拉商数的概念有点类似高合成数；1既是高合成数中唯一的奇数，也是高欧拉商数中唯一的奇数（其实1是欧拉函数值域中唯一的奇数）。而且高欧拉商数和高合成数都有无限多个，不过随着数字的增加，要找到高欧拉商数也就越来困难，因为欧拉商数和质因数分解有关，数字越大，就越难进行质因数分解。