流 (数学)

集合 ${\displaystyle X}$  上的一个流是 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$  在 ${\displaystyle X}$  上的群作用。更准确地，流是一个函数 ${\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X}$ ，满足 ${\displaystyle \varphi (x,0)=x}$  且和单参数群保持一致：

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)}$ 

对所有 ${\displaystyle s,t}$  属于 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  和 ${\displaystyle x\in X}$  。

集合 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x,\varphi )=\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}$  称为${\displaystyle x}$  在${\displaystyle \varphi }$  作用下的轨道。

当空间 ${\displaystyle X}$  有额外的结构（比如 ${\displaystyle X}$  是一个拓扑空间或 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}.}$ ）时，流经常要求连续甚至可微。

在许多领域，包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而

${\displaystyle x(t)}$ 

写成 ${\displaystyle \phi (x,t)}$ ，这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上，在记号上，有严格的等价关系：${\displaystyle x(t)\equiv \phi (x,t)}$ 。类似地

${\displaystyle x_{0}=x(0)}$ 

写成 ${\displaystyle x=\phi (x,0)}$ ，等等。

流最常见的例子是描述自治常微分方程的解，当方程的解存在且惟一时

${\displaystyle y'=f(y),\;\;\;y(0)=x}$ 

可作为初始条件 ${\displaystyle x}$  的函数。这就是，如果以上方程有惟一的解 ${\displaystyle \psi _{x}:\mathbb {R} \rightarrow X}$  对任何 ${\displaystyle x\in X}$ ，那么${\displaystyle \varphi (x,t)=\psi _{x}(t)}$  定义了一个流。

• D.V. Anosov, Continuous flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• D.V. Anosov, Measureable flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• D.V. Anosov, Special flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
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