波波夫判据

波波夫研讨的，是Lur'e系统中的一子集合，可以用下式描述：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+bu\\{\dot {\xi }}&=u\\y&=cx+d\xi \end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{matrix}u=-\varphi (y)\end{matrix}}}$ 

其中x ∈ Rⁿ、ξ,u,y是标量，A,b,c和d的维度相称。非线性元件Φ: R → R是在开区间(0, ∞)内的非时变非线性元件，也就是说Φ(0) = 0，针对其他不为零的y值，yΦ(y) > 0 。

波波夫研究的系统在原点有个极点，没有直接从输入到输出的路径，其u到y的传递函数为

${\displaystyle H(s)={\frac {d}{s}}+c(sI-A)^{-1}b}$ 

若上述系统符合以下特性

1. A is 赫尔维茨矩阵
2. (A,b) 可控制
3. (A,c) 可观察
4. d > 0 且
5. Φ ∈ (0,∞)

则系统全域稳定的条件是存在一数r > 0，使得${\textstyle \inf _{\omega \,\in \,\mathbb {R} }\operatorname {Re} \left[(1+j\omega r)H(j\omega )\right]>0.}$ 

• 圆判据

• Haddad, Wassim M.; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control: a Lyapunov-Based Approach.. Princeton University Press. 2011. ISBN 9781400841042.