圆判据

考虑一个线性系统，但有非线性的回授，也就是在回授路径上有非线性元素${\displaystyle \varphi (v,t)}$ ，假设此元素满足区间条件${\displaystyle [\mu _{1},\mu _{2}]}$ ，而且（为了简化系统）开回路系统稳定。则闭回路系统全域渐近稳定若其尼奎斯特轨迹不会穿过直径为X轴上${\displaystyle [-1/\mu _{1},-1/\mu _{2}]}$ 的圆。

考虑非线性系统

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} +\mathbf {Bw} ,}$ 

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Cx} ,}$ 

${\displaystyle \mathbf {w} =\varphi (v,t).}$ 

假设

1. ${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$ 
2. ${\displaystyle \det(i\omega I_{n}-A)\neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}{\text{ and }}\exists \mu _{0}\in [\mu _{1},\mu _{2}]\,:\,A+\mu _{0}BC}$  is stable
3. ${\displaystyle \Re \left[(\mu _{2}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B-1)(1-\mu _{1}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B)\right]<0\ \forall \omega \in R^{-1}.}$ 

则存在${\displaystyle \exists c>0,\delta >0}$ 使得针对系统的任意解，下式都成立；

${\displaystyle |x(t)|\leq ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t\geq 0.}$ 

条件3称为“频率条件”，条件1称为“区间条件”。

• 波波夫判据

• Sufficient Conditions for Dynamical Output Feedback Stabilization via the Circle Criterion
• Popov and Circle Criterion (Cam UK)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Popov and Circle Criterion (ETH)
• Stability analysis using the circle criterion in Mathematica（页面存档备份，存于互联网档案馆）