双调和方程式

在数学中，双调和方程是一个四阶偏微分方程式，出现在连体力学，包括线性弹性理论和史托克流的解。写成

${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$${\displaystyle }$

或

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}$${\displaystyle }$

或

${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$${\displaystyle }$

 ${\displaystyle \nabla ^{4}}$ 为四阶的 Nabla算子，或是拉普拉斯算子的平方，称为双调和算子。 在 n 维座标下，以爱因斯坦求和约定可写成 ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi .}$${\displaystyle }$

例如，在三维笛卡儿坐标系的双调和方程式写做

${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$${\displaystyle }$

另外一个例子，在 n-维欧几里得空间，

${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$${\displaystyle }$

其中

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$${\displaystyle }$

在 n=3 和 n=5  才能行成双调和方程式。

双调和方程式的解为双调和函数。任何调和函数都是双调和函数，但双调和函数不一定是调和函数。 在二维极坐标中，双调和方程为

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

可用分离变数法求解，其解为 Michell solution（英语：Michell solution） 。