协变经典场论

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令${\displaystyle {\bar {\Gamma }}(\pi )}$ 表示有紧支撑的${\displaystyle \pi \,}$ 的截面。

一个经典场论数学上可以如下表述

• 一个纤维丛 ${\displaystyle ({\mathcal {E}},\pi ,{\mathcal {M}})}$ ，其中${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 表示一个${\displaystyle n\,}$ 维时空。
• 一个拉格朗日量形式 ${\displaystyle \Lambda :J^{1}\pi \rightarrow \Lambda ^{n}M}$ 

令${\displaystyle \star 1\,}$ 代表${\displaystyle M\,}$ 上的体积形式，则${\displaystyle \Lambda =L\star 1\,}$ ，其中${\displaystyle L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb {R} }$ 是拉格朗日量函数。 我们在 ${\displaystyle J^{1}\pi \,}$ 上选择纤维化坐标${\displaystyle \{x^{i},u^{\alpha },u_{i}^{\alpha }\}\,}$ ，使得

${\displaystyle \star 1=dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}}$ 

作用量积分定义为

${\displaystyle S(\sigma )=\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma )^{*}\Lambda \,}$ 

其中${\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )}$ ，并定义于开集${\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}})\,}$ ，而${\displaystyle j^{1}\sigma \,}$ 代表其第一射流延长(jet prolongation)。

截面${\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,}$ 的变分由曲线${\displaystyle \sigma _{t}=\eta _{t}\circ \sigma \,}$ 给出，其中${\displaystyle \eta _{t}\,}$ 是一个${\displaystyle {\mathcal {E}}\,}$ 上的${\displaystyle \pi \,}$ -竖直向量场${\displaystyle V\,}$ 的流，它在${\displaystyle {\mathcal {M}}\,}$ 上有紧支撑。 截面${\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,}$ 称为变分的驻点，如果

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma _{t})^{*}\Lambda =0\,}$ 

这等价于

${\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\Lambda =0\,}$ 

其中${\displaystyle V^{1}\,}$ 代表${\displaystyle V\,}$ 的第一延长，按李导数的定义。 使用嘉当公式，${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}\,}$ ， 斯托克斯定理以及${\displaystyle \sigma \,}$ 的紧支撑，可以证明这等价于

${\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =0\,}$ 

考虑一个${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 的${\displaystyle \pi \,}$ -竖直向量场

${\displaystyle V=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$ 

其中${\displaystyle \beta ^{\alpha }=\beta ^{\alpha }(x,u)\,}$ 。采用切触形式 ${\displaystyle \theta ^{j}=du^{j}-u_{i}^{j}dx^{i}\,}$  on ${\displaystyle J^{1}\pi \,}$ ，我们可以计算${\displaystyle V\,}$ 的第一延长。然后得到

${\displaystyle V^{1}=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}\,}$ 

其中${\displaystyle \gamma _{i}^{\alpha }=\gamma _{i}^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_{i}^{\alpha })\,}$ 。 据此，可以证明

${\displaystyle i_{V^{1}}d\Lambda =\left[\beta ^{\alpha }{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\right]\star 1\,}$ 

因而

${\displaystyle (j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =\left[(\beta ^{\alpha }\circ \sigma ){\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\circ \sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}\circ \sigma \right){\frac {\partial \sigma ^{j}}{\partial x^{i}}}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right]\star 1\,}$ 

分部积分并考虑${\displaystyle \sigma \,}$ 的紧支撑，临界条件变为

因为${\displaystyle \beta ^{\alpha }\,}$ 为任意函数，我们得到

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)=0\,}$ 

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。

• 经典场论
• 外代数
• 纤维丛
• 射流
• 量子场论

• Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, 永久失效链接], May 1995