加托导数

数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒内·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于变分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。

定义

假设 $X$ 和 $Y$ 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间）， $U\subset X$ 是开集合(open set)，且 $F:X\rightarrow Y$ 。 $F$ 在点 $u\in U$ 沿着 $\psi \in X$ 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) $dF(u,\psi )$ 定义为

dF(u,\psi )=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}

如果极限存在。固定 $u$ 若 $dF(u,\psi )$ 对于所有 $\psi \in X$ 都存在，则称 $F$ 在 $u\in U$ 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 $F$ 在 $u$ 是加托可微，称 $dF(u,\cdot )$ 为在 $u$ 的加托导数。

称 $F$ 是在 $U$ 中连续可微的若

dF:U\times X\rightarrow Y

是连续的。

属性

若加托导数存在，则其为唯一。

对于每个 $u\in U$ ，加托导数是一个算子 $dF:X\rightarrow Y.$ 。该算子是齐次的，使得

$dF(u,\alpha \psi )=\alpha dF(u,\psi )\,$ ，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。

例子

令 $X$ 为一个在欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 勒贝格可测集 $\Omega$ 上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是说 $X=\{u:\Omega \mapsto \mathbb {R} \mid \int _{\Omega }u^{2}<\infty ,\,\,\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是勒贝格可测集 $\}$ 。泛函 $E:X\rightarrow \mathbb {R}$ 由

E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)dx

给出，其中 $F$ 是一个定义在实数上的可微实值函数且 $F'=f\,$ 而 $u$ 为定义在 $\Omega$ 的实数值函数，则加托导数为

dE(u,\psi )=(f(u),\psi ),\quad \quad (f(u),\psi )

这符号代表

\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx\,

.

更详细的说：

{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)

\quad \quad ={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)

\quad \quad =\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx.

令 $\tau \rightarrow 0$ (并假设所有积分有定义)，得到加托导数

dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,

也就是，内积 $(f(u),\psi ).\,$

参看

导数 (推广)

参考

R Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. Comptes rendus de l'académie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913): 325–327. [2006-07-30]. （原始内容存档于2016-12-18）（法语）.