速降函数空间

欧几里得空间Rⁿ 上的速降函数空间${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 是满足以下条件的函数的集合：

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mid \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \,\forall \,\alpha ,\beta \},}$ 

其中 α, β 是多重指标，C^∞(Rⁿ) 是所有从Rⁿ射到C 的光滑函数。

${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|.}$ 

其中${\displaystyle \sup }$  符号指函数的最小上界，${\displaystyle D^{\beta }}$ 指多重指标下的导数。简单来说，速降函数是指当${\displaystyle |x|\to \infty }$  时趋近于零的速度比所有的多项式的倒数都快，并且任意阶的导数都有这种性质的函数。

• 设 i 是一个多重指标，a 是一个正实数，那么

${\displaystyle x^{i}e^{-ax^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ 

比如，高斯函数${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ 就是一个速降函数。这是因为对任意的多重指标 α, β

${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|\leq x^{\alpha +\beta }2^{\|\beta \|}e^{-x^{2}}<\infty }$ 。

• 任意的紧支撑光滑函数f 都属于${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，这是因为f 的所有的导函数乘以任意的${\displaystyle x^{\alpha }}$ 都是紧支撑的，所以必然有界，也就是说(x^α D^β) f 在Rⁿ 上有最大值。

• 如果一个光滑函数仅仅满足自身乘以任意的${\displaystyle x^{\alpha }}$ 都有界的话，这个函数不一定是速降函数。导函数也具有同样的性质这一点是很重要的。例如函数

${\displaystyle f(x)=e^{-x}\cdot e^{-ie^{2x}}}$ 

f自身乘以任何的${\displaystyle x^{\alpha }}$ 都有界，但它的导数：

${\displaystyle f'(x)=-e^{-x}\cdot e^{ie^{2x}}-2ie^{-x}ie^{2x}\cdot e^{ie^{2x}}=-f(x)+2e^{x}\cdot e^{ie^{2x}}}$ 

而${\displaystyle 2e^{x}\cdot e^{ie^{2x}}}$ 是一个指数发散的函数，甚至不趋于零，当然不是速降函数。从而${\displaystyle f'(x)}$ 也不是速降函数。

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  是复数的弗雷歇空间。

• 如果${\displaystyle f}$  是速降函数，那么${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }}$ 在${\displaystyle |x|\rightarrow \infty }$  时一定趋于0。

• 速降函数空间${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  中的元素乘以多项式之后仍然属于${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 。甚至只要函数${\displaystyle u}$  在${\displaystyle |x|\rightarrow \infty }$  时是某个多项式的等价无穷大，那么${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  中的元素乘以${\displaystyle u}$  后仍在${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  中。

• 根据微分的莱布尼兹法则，速降函数空间${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  在函数乘法运算下封闭。也就是说，如果两个函数${\displaystyle f,g\in {\mathcal {S}}}$ ，那么有 ${\displaystyle fg\in {\mathcal {S}}}$ 。这里的乘积是逐点乘积。

• 对所有的1 ≤ p ≤ ∞，都有${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ，其中L^p(Rⁿ) 是所谓的Lp空间，也就是说所有在Rⁿ 上p 次可积的函数的空间。

• 傅里叶变换是 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$  的一个线性自同构。

• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition, Academic Press, 1980.