累进可除数

累进可除数(英语:Polydivisible number)是有以下特质的整数:首个位非零,而且由它首个位组成的数是倍数

例如345654:

而123456就非累进可除数,因为1234不是4的倍数。

累进可除数可以在不同的进位制中定义。本条目仅谈论十进制中的情况。

背景

累进可除数是趣味数学上的一道名题的一般化:

用1至9排列成一个数,使其首2个位能被2除尽,首3个位能被3除尽,如此类推,整个数是9的倍数。

虽然9位的累进可除数有2492个,但唯一一个包含1至9的数字而不重复的只有一个,是381,654,729。

累进可除数的数目

  位的累进可除数,若有  之间有数可以被 整除, 便可以扩充一个位,成为n位的累进可除数。若 ,必定可以由 位的累进可除数扩充成n位的累进可除数,且有多于一个可行的扩充办法。反之,若  越大,能够扩充成为另一个累进可除数的办法随之而越少。因此,将累进可除数的分布画成曲线图,会得出一条钟形曲线

平均来说,每个 位的累进可除数扩充成n位的累进可除数有 种方法。这产生了以下这条用以估计n位的累进可除数数目的公式(以 表示 位累进可除数的数目):

 

将所有 之值加起来套入此式,就得出所有累进可除数的数目:

 
 
蓝线—实际的数目;紫线—估计的数目
位数    估计值
1 9 9
2 45 45
3 150 150
4 375 375
5 750 750
6 1200 1250
7 1713 1786
8 2227 2232
9 2492 2480
10 2492 2480
11 2225 2255
12 2041 1879
13 1575 1445
14 1132 1032
15 770 688
16 571 430
17 335 253
18 180 141
19 90 74
20 44 37
21 18 17
22 12 8
23 6 3
24 3 1
25 1 1

最长的累进可除数有25位,等于360,852,885,036,840,078,603,672,5。

相关问题

  • 泛位数中数字0~9各出现一次的累进可除数,唯一的解是381,654,729,0
  • 在累进可除数上的数字运用加上限制。例如:求最长的累进可除数其数字均为偶数。答案是480,006,882,084,660,840,40。
  • 找寻回文累进可除数。这类数最长的是300,006,000,03。
  • 找出其他进位制中的累进可除数。

外部链接