累进可除数

累进可除数是趣味数学上的一道名题的一般化：

用1至9排列成一个数，使其首2个位能被2除尽，首3个位能被3除尽，如此类推，整个数是9的倍数。

虽然9位的累进可除数有2492个，但唯一一个包含1至9的数字而不重复的只有一个，是381,654,729。

若${\displaystyle k}$ 是${\displaystyle n-1}$ 位的累进可除数，若有${\displaystyle 10k}$ 和${\displaystyle 10k+9}$ 之间有数可以被${\displaystyle k}$ 整除，${\displaystyle k}$ 便可以扩充一个位，成为n位的累进可除数。若${\displaystyle n\leq 10}$ ，必定可以由${\displaystyle n-1}$ 位的累进可除数扩充成n位的累进可除数，且有多于一个可行的扩充办法。反之，若${\displaystyle n>10}$ ，${\displaystyle n}$ 越大，能够扩充成为另一个累进可除数的办法随之而越少。因此，将累进可除数的分布画成曲线图，会得出一条钟形曲线。

平均来说，每个${\displaystyle n-1}$ 位的累进可除数扩充成n位的累进可除数有${\displaystyle {\frac {10}{n}}}$ 种方法。这产生了以下这条用以估计n位的累进可除数数目的公式（以${\displaystyle F(n)}$ 表示${\displaystyle n}$ 位累进可除数的数目）：

${\displaystyle F(n)\approx {\frac {9\times 10^{n-1}}{n!}}}$ 

将所有${\displaystyle n}$ 之值加起来套入此式，就得出所有累进可除数的数目：

${\displaystyle {\frac {9(e^{10}-1)}{10}}\approx 19823}$ 

最长的累进可除数有25位，等于360,852,885,036,840,078,603,672,5。

• 在泛位数中数字0~9各出现一次的累进可除数，唯一的解是381,654,729,0
• 在累进可除数上的数字运用加上限制。例如：求最长的累进可除数其数字均为偶数。答案是480,006,882,084,660,840,40。
• 找寻回文累进可除数。这类数最长的是300,006,000,03。
• 找出其他进位制中的累进可除数。

• Nine Digit Number （页面存档备份，存于互联网档案馆）(英文)
• [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）(意大利文)