简单函数

严格的讲，一个简单函数是可测集合的指示函数的有限线性组合。更加精确地，设(X, Σ)为可测空间。设A₁，……，A_n ∈ Σ 皆为可测集合，并设a₁，……，a_n 皆为实数或复数。简单函数是以下形式的函数：

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x).}$ 

其中 ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$  代表集合 A 的指示函数。

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中，以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$  都会是单调递增的非负简单函数序列的逐点极限。事实上，设 ${\displaystyle f}$  为定义在测度空间 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}$  上的非负可测函数。对于每一个 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，我们把 ${\displaystyle f}$  的对应域分成 ${\displaystyle 2^{2n}+1}$ 个区间，其中 ${\displaystyle 2^{2n}}$  个区间长度为 ${\displaystyle 2^{-n}}$ （除了 ${\displaystyle I_{n,2^{2n}}}$  以外，其他区间长度都为 ${\displaystyle 2^{-n}}$ ） 。让

${\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k}{2^{n}}},{\frac {k+1}{2^{n}}}\right),\;k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1,\;\;}$  以及${\displaystyle \;\;\;I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty ].}$ 

定义可测集合

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}$ ，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}$ 。

则我们定义简单函数 ${\displaystyle s_{n}}$  如下

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}$ 

如果对每个 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  都构造如此的函数 ${\displaystyle s_{n}}$ ，则我们得到一组单调递增的简单函数序列 ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ ，

当 ${\displaystyle n\to \infty }$  时，这序列会逐点收敛至 ${\displaystyle f}$ 。

注意如果 ${\displaystyle f}$  是有界的，则序列是一致收敛。

这种用简单函数逼近非负函数 ${\displaystyle f}$  的方法，可以用来定义 ${\displaystyle f}$  的勒贝格积分，因为相对来讲，简单函数的积分很好计算。详情请参阅勒贝格积分。

如果一个测度 μ 定义在空间(X,Σ)上，则简单函数 ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}$  关于 μ 的勒贝格积分是：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),}$ 

如果所有的加数都是有限的。

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.