哈代－李特尔伍德极大函数

对一个在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上定义的局部可积函数f，可定义其哈代－李特尔伍德极大函数Mf如下

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)}$ 

（Mf(x)可能是${\displaystyle \infty }$ 。） 其中m是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的勒贝格测度。

Mf(x)是下半连续函数。

证明

对任何${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ ，可假设Mf(x) > 0。（否则几乎处处f=0）

任意取0 < c < Mf(x)。从Mf定义知存在r > 0使得

${\displaystyle c_{1}:={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)>c}$ 

存在${\displaystyle \delta >0}$ 使得${\displaystyle (r/(r+\delta ))^{n}>c/c_{1}}$ 。 对任何${\displaystyle x'\in B(x,\delta )}$ ，有${\displaystyle B(x,r)\subset B(x',r+\delta )}$  所以

${\displaystyle {\begin{aligned}&Mf(x')\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x',r+\delta )}|f(y)|dm(y)\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x',r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x,r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&>c_{1}\cdot {\frac {c}{c_{1}}}=c\end{aligned}}}$ 

因此Mf是下半连续。

设${\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ 为可积函数，对任何常数${\displaystyle c>0}$ ，有不等式

${\displaystyle m(\{Mf>c\})\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}}$ 

证明

对每个在集合${\displaystyle \{Mf>c\}}$ 内的点x，都有${\displaystyle r_{x}>0}$ ，使得

${\displaystyle {\frac {1}{m(B(x,r_{x}))}}\int _{B(x,r_{x})}|f(y)|dm(y)>c}$ 

设K为${\displaystyle \{Mf>c\}}$ 内的紧集。开球${\displaystyle (B(x,r_{x}))_{x\in K}}$ 是K的一个开覆盖。因K紧致，存在有限子覆盖${\displaystyle (B(x_{i},r_{i}))_{i=1}^{N}}$ 。（${\displaystyle r_{i}:=r_{x_{i}}}$ ）

用维塔利覆盖引理，这有限子覆盖中存在子集${\displaystyle (B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))_{i_{j}}}$ ，当中的开球两两不交，而且将这些开球的半径增至三倍后${\displaystyle B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}})}$ 可以覆盖K。于是

${\displaystyle {\begin{aligned}m(K)&\leq \sum _{i_{j}}m(B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}}))\\&=\sum _{i_{j}}3^{n}m(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))\\&<\sum _{i_{j}}{\frac {3^{n}}{c}}\int _{B(x_{i_{j}},r_{i_{j}})}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}}{c}}\int _{K}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}\end{aligned}}}$ 

上式第四行的不等式使用了开球两两不交性质。从勒贝格测度的内正则性，集合${\displaystyle \{Mf>c\}}$ 的测度等于在其内的所有紧集的测度的上确界，故有

${\displaystyle m(\{Mf>c\})=\sup _{K}m(K)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}}$ 

哈代－李特尔伍德极大不等式可以用来证明勒贝格微分定理。

• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.