高斯求积

对于上述的最简单的积分形式，即权重函数${\displaystyle W(x)=1}$ 时，关联多项式为勒让得多项式${\displaystyle P_{n}(x)}$ ，这种方法通常称为高斯勒让德求积，此时权重函数为下式，

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})[P_{n}'(x_{i})^{2}]}}}$ 

${\displaystyle x_{i}}$ 为${\displaystyle P_{n}(x)}$ 的第${\displaystyle i}$ 个根。

${\displaystyle P_{n}(x)=\prod _{1\leq i\leq n}(x-x_{i})}$ 

对于求解低阶积分，选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间${\displaystyle [a,b]}$ 变换到${\displaystyle [-1,1]}$ ，可利用变数变换得：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx}$ 

对应的高斯求积近似式为

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right)}$ 

对于如下的通用积分式来说，

${\displaystyle \int _{b}^{a}w(x)f(x)dx}$ 

当${\displaystyle a=-1}$ ，${\displaystyle b=1}$ ，${\displaystyle w(x)=1}$ 时，即为上述内容。我们还可以用别的积分规则，如下表所示。