超完全数
| 此条目需要扩充。 (2013年2月14日) |
| 未解决的数学问题：存在奇数的超完全数吗？ |  |
超完全数（superperfect number）是指一正整数 n 满足下式：
其中σ为除数函数。超完全数可视为一种广义的完全数，其英文superperfect number是由Suryanarayana在1969年开始使用[1]。
以4为例，4的约数有1, 2, 4，除数函数，其约数为1, 7，，因此, 4是超完全数。
头几个超完全数是：
2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 （OEIS数列A019279）。
若n是偶数的超完全数，则n一定是2的乘幂2k，而且2k+1-1为梅森素数[1][2]。
目前还不知道是否存在奇数的超完全数，若存在奇数的超完全数n，n会是一个平方数，且n或σ(n)需为三个相异素数的倍数[2]。已知在小于7x1024的整数中没有奇数的超完全数[1]。
广义的超完全数
完全数及超完全数都可视为是范围更大的m-超完全数的特例，m-超完全数满足下式：
m=1及2时分别是完全数及超完全数，若m ≥ 3，不存在偶数的m-超完全数[1]。
m-超完全数则是(m,k)-完全数的特例，(m,k)-完全数满足下式[3]：
若依此表示法，一般的完全数为(1,2)-完全数，多重完全数是(1,k)-完全数，超完全数是(2,2)-完全数，m-超完全数则是(m,2)-完全数[4]。以下是一个(m,k)-完全数的范例：
m k (m,k)-完全数 OEIS 数列 2 3 8, 21, 512 A019281 2 4 15, 1023, 29127 A019282 2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 A019283 2 7 24, 1536, 47360, 343976 A019284 2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 A019285 2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 A019286 2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 A019287 2 11 4404480, 57669920, 238608384 A019288 2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 A019289 3 任意数 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ... A019292 4 任意数 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ... A019293
参考资料
- Superperfect Number at PlanetMath.
- Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. Iterating the sum-of-divisors function. Experimental Mathematics. 1996, 5: 93–100. Zbl 0866.11003.
- Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
- Suryanarayana, D. Super perfect numbers. Elem. Math. 1969, 24: 16–17. Zbl 0165.36001.