单叶函数

任何由开集单位圆盘映射到本身的映射${\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}}}$ （其中${\displaystyle |a|\leq 1}$ ）为单叶函数。

若${\displaystyle G}$ 及${\displaystyle \Omega }$ 为二个复数平面中的开集连通空间，且

${\displaystyle f:G\to \Omega }$ 

是一个满足${\displaystyle f(G)=\Omega }$ 的单叶函数（有一对一的对应关系），则${\displaystyle f}$ 导数恒不为0，${\displaystyle f}$ 可逆，而且其逆元素${\displaystyle f^{-1}}$ 也是全纯函数。依链式法则可得到下式：

${\displaystyle (f^{-1}{)}^{\prime }(f(z))=\frac{1}{f^{\prime }(z)}}${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}  

对所有${\displaystyle G.}$ 中的复数${\displaystyle z}$ 皆成立。

实解析函数和全纯函数不同，上述的性质在实解析函数中不成立，考虑以下的函数：

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$ 

由ƒ(x) = x³。此函数也是单射函数，但在x = 0处其导数为0，其逆元素在 (−1, 1)区间中也不完全是解析函数，也不完全可微。

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.