三立方数和

${\displaystyle n=0}$ 时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理^[1]，在${\displaystyle n=0}$ 时的三立方和只有如下平凡解：

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$ 

${\displaystyle n=1,2}$ 时，存在如下解系，有无数解：

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ 

以及，

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.}$ 

上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和^[2][3]。除上述表示外，${\displaystyle n=1}$ 也有其他三立方和解系^[4]，${\displaystyle n=2}$ 有如下著名解^[4][5]：

${\displaystyle 1214928^{3}+3480205^{3}+(-3528875)^{3}=2,}$ 

${\displaystyle 37404275617^{3}+(-25282289375)^{3}+(-33071554596)^{3}=2,}$ 

${\displaystyle 3737830626090^{3}+1490220318001^{3}+(-3815176160999)^{3}=2.}$ 

然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示^[6]。即便在${\displaystyle n=3}$ 处，也没有参数化解系。路易斯·J·莫德尔（英语：Louis J. Mordell）在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即：

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$ 

“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余^[7]。2019年9月前，上述两式曾经是${\displaystyle n=3}$ 长期以来仅有的2组已知解^[8]，但就在同一月，发现了第3组解^[9][10]：

${\displaystyle 569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}=3}$ 

1955年起，莫德尔（Mordell）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。^{[11][12][5][13][14][15][16][17][18]}对于1000以内的正整数${\displaystyle n}$ ，埃尔森汉斯（Elsenhans）与雅内尔（Jahnel）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法^[15]找到了${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$ 范围内的所有解。2016年，于斯曼（Huisman）使用同样的方法将搜索上界提升至${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$ 。到此时为止，${\displaystyle n<100}$ 的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的${\displaystyle n}$ 都找到了至少一组整数解。^[18]

2019年，安德鲁·布克（英语：Andrew Booker (mathematician)）采用一种新方法发现了${\displaystyle n=33}$ 的一组解：^[19]

${\displaystyle 33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}}$ 

此时，他在${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)<10^{16}}$ 的范围里尚没有找到${\displaystyle n=42}$ 的解。^[19]

随后在2019年9月，布克和安德鲁·萨瑟兰（英语：Andrew Sutherland (mathematician)）最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来^{[注 1]}：

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}}$ 

这个解的获得在Charity Engine全球网络（Charity Engine's global grid）上耗费了130万机时。

至此1到100之间的所有整数都确认了是否有非零整数解^[20]。截至2019年9月 (2019-09)^[update]，未能求解最小整数是${\displaystyle n=114}$ ^[8]，如果有解的话，${\displaystyle (|x|,|y|,|z|)}$ 至少有一数大于100000000000。

在2021年1月初，又解决了579^[21]：

${\displaystyle 579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}}$ 

至此，仅剩的未解决的在1000以内的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7个。