阶加

数学中,正整数的阶加(英语:Termial)是所有小于及等于该数的正整数的和,计为n?。例如:

根据空和的惯例,0?的值为0

该术语是由高德纳在《计算机程序设计艺术》中创造的。它是从1n的整数的阶乘函数的加法模拟。他用它来说明从正整数到实数的扩展。[1]

正整数的阶加也称为三角形数[2]最初的几个(OEIS数列A000217)是

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

历史

18世纪以来,莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler)和其他一些数学家一直试图将阶乘函数的扩展到实数甚至复数,并最终提出了Γ函数[3]1997年,高德纳在他的《计算机程序设计艺术》引入了阶加函数n?,作为阶乘的加法模拟,以便说明域扩展的含义。[1]

定义

阶加函数由和定义

 

最初整数n ≥ 1。这可以用求和符号表示为

 

从这些公式,可以得出递回关系式

 

例如:

 

可以使用等差数列的求和公式来计算阶加函数:

 

例如: 

零的阶加

为了将递推关系扩展到n = 0,有必要定义

 

所以

 

非整数的阶加

非整数值的阶加函数也可以使用公式 

例如: 

应用领域

阶加在数学中不常使用,但它仍然在一些领域应用,如组合数学

  • 对于n个不同的元素,组合2个元素的方法数量等于(n − 1)?。这就是说
 
  • 在玩4个4时,阶加可以是找到所需表达式的有用工具,尤其是在规则不允许使用小数点平方根的情况下(这是因为数字02是不可用的)。例如:
 
 

阶加的和和函数

双阶加

类似于双阶乘[4],所有奇数直到某个正奇整数n的和称为n双阶加,和表示为n??。定义为

 

例如: .

n = 1, 3, 5, 7,...的双阶加是平方数序列。[5]它开始为

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...(OEIS数列A000290

质数阶加

质数阶加可以作为质数阶乘的一个类似物,表示为n§。它被定义为小于或等于n质数之和,即

 

 素数计数函数

例如: 

前几个结果是

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...(OEIS数列A007504

倒数阶加

倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个调和数[6]

 

例如: 

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Triangular Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始内容存档于2007-10-08) (英语). 
  3. ^ Davis, P. J. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly. 1959, 66 (10) [30 December 2018]. doi:10.2307/2309786. (原始内容存档于2012-11-07). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Double Factorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始内容存档于2021-03-07) (英语). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Square Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. (原始内容存档于2019-03-26) (英语). 
  6. ^ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 272–282.