阶加

18世纪以来，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和其他一些数学家一直试图将阶乘函数的域扩展到实数甚至复数，并最终提出了Γ函数。^[3]1997年，高德纳在他的《计算机程序设计艺术》引入了阶加函数n?，作为阶乘的加法模拟，以便说明域扩展的含义。^[1]

阶加函数由和定义

${\displaystyle n?=1+2+3+\cdots +(n-2)+(n-1)+n\,,}$ 

最初整数n ≥ 1。这可以用求和符号表示为

${\displaystyle n?=\sum _{i=1}^{n}i.}$ 

从这些公式，可以得出递回关系式

${\displaystyle n?=n+(n-1)?\,.}$ 

例如：

${\displaystyle {\begin{aligned}5?&=5+4?\\6?&=6+5?\\50?&=50+49?\end{aligned}}}$ 

可以使用等差数列的求和公式来计算阶加函数：

${\displaystyle n?={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$ 

例如：${\displaystyle 100?={\frac {100\times 101}{2}}=5050}$ 

零的阶加

为了将递推关系扩展到n = 0，有必要定义

${\displaystyle 0?=0}$ 

所以

${\displaystyle 1?=1+0?=1.}$ 

非整数的阶加

非整数值的阶加函数也可以使用公式${\displaystyle n?={\frac {n(n+1)}{2}}}$ 。

例如：${\displaystyle ({\frac {1}{2}})?={\frac {3}{8}}}$ 

阶加在数学中不常使用，但它仍然在一些领域应用，如组合数学。

• 对于n个不同的元素，组合2个元素的方法数量等于(n − 1)?。这就是说

${\displaystyle {n \choose 2}=(n-1)?\,.}$ 

• 在玩4个4时，阶加可以是找到所需表达式的有用工具，尤其是在规则不允许使用小数点和平方根的情况下（这是因为数字0和2是不可用的）。例如：

${\displaystyle 13=4?+4-4\div 4}$ 

${\displaystyle 18=4!+4?-4\times 4}$ 

双阶加

类似于双阶乘^[4]，所有奇数直到某个正奇整数n的和称为n的双阶加，和表示为n??。定义为

${\displaystyle (2k-1)??=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)=1+3+5+\cdots +(2k-3)+(2k-1)\,.}$ 

例如：${\displaystyle 9??=1+3+5+7+9=25}$ .

n = 1, 3, 5, 7,...的双阶加是平方数序列。^[5]它开始为

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...（OEIS数列A000290）

质数阶加

质数阶加可以作为质数阶乘的一个类似物，表示为n§。它被定义为小于或等于n的质数之和，即

${\displaystyle n\S =p_{\pi (n)}\S =\sum _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}\,,}$ 

${\displaystyle \pi (n)}$ 是素数计数函数。

例如：${\displaystyle 11\S =p_{5}\S =2+3+5+7+11=28}$ 

前几个结果是

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...（OEIS数列A007504）

倒数阶加

倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个调和数。^[6]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=H_{n}.}$ 

例如：${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {11}{6}}.}$ 

• 三角形数
• 求和符号
• 阶乘
• 阶幂