欧几里得引理

在数论中,欧几里得引理是在欧几里得几何原本》第七卷的命题30中提出的定理。这个引理说明:

如果一个正整数整除另外两个正整数的乘,第一个整数与第二个整数互质,那么第一个整数整除第三个整数。

可以这样表达这个引理:

如果a|bcgcd(a,b)=1 那么 a|c

命题30是这样说的:

如果一个素数整除两个正整数的乘积,那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。

如果 p|bc 那么 p|b 或者 p|c

命题30的证明

设p|ab,但p不是a的因子。于是,可设 ,其中r|ab。由于p是质数,且不是a的因子,gcd(a,p)=1。这就是说,可以找到两个整数xy,使得 贝祖定理)。两边乘以b,可得:

 
 .

前面已经说了 ,因此:

 
 .

所以,p|b。这就是说,p要么整除a,要么整除b,要么都能整除。证毕。

参考