线性同余方程

数论中,线性同余方程是最基本的同余方程,“线性”表示方程的未知数次数是一次,即形如:

的方程。此方程有解当且仅当能够被最大公约数整除(记作)。这时,如果是方程的一个解,那么所有的解可以表示为:

其中最大公约数。在模完全剩余系中,恰有个解。

例子

  • 在方程
 

中,  ,3 不整除 2,因此方程无解。

  • 在方程
 

中,  ,1 整除 2,因此方程在 中恰有一个解: 

  • 在方程
 

中,  ,2 整除 2,因此方程在 中恰有两个解: 以及 

求特殊解

对于线性同余方程

       (1)

 整除  ,那么 为整数。由裴蜀定理,存在整数对 (可用扩展欧几里得算法求得)使得 ,因此  是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于  同余。

举例来说,方程

 

  。注意到  ,因此  是一个解。对模 28 来说,所有的解就是  

与线性丢番图方程的关系

考虑 ,其等价于  是整数),也就是线性丢番图方程。运用辗转相除法可以求得该方程的解,有无限多个;但是在原同余方程中,解的个数受到 限制,因此正如上面例子所示,只能选取前面的几个解。

线性同余方程组

线性同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如,对于线性同余方程组:

 
 
 

首先求解第一个方程,得到 ,于是令 ,第二个方程就变为:

 

解得 。于是,再令 ,第三个方程就可以化为:

 

解出: ,即  。代入原来的表达式就有  ,即解为:

 

对于一般情况下是否有解,以及解得情况,则需用到数论中的中国剩余定理

参见