超椭圆

当n为一个非零的有理数p/q（最简分数形式），则超椭圆为一平面代数曲线。若n为正数，其曲线次数为pq，若n为负数，其曲线次数为2pq。若a和b均为1且n为偶数，则此超椭圆为一n次的费马曲线（英语：Fermat curve），此时超椭圆没有奇点，但一般而言超椭圆中会有有奇点。

超椭圆的参数方程如下：

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$ 

或

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta }|^{\frac {2}{n}}\times a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin }\theta |^{\frac {2}{n}}\times b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}}$ 

超椭圆内的面积可以用Γ函数Γ(x)来表示：

${\displaystyle \ S}$  = ${\displaystyle \Gamma (x)=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$ 

其垂足曲线较容易计算，而以下曲线的垂足曲线

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{n}\!+\left({\frac {y}{b}}\right)^{n}\!=1}$ 

可以用极坐标方式来表示^[1]：

${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$ 

超椭圆可以延伸为以下的形式：

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}$ 

或

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}$ 

其中的${\displaystyle \theta }$ 不是表示角度，只是方程式的一个参数。

超椭圆在笛卡儿坐标系下的表示式是由1795年出生的法国数学家加布里埃尔·拉梅，由椭圆的方程式扩展而得。

字体设计师赫尔曼·察普夫在1952年设计的Melior（英语：Melior）字体，利用超椭圆作为字母o的外形。三十年后高德纳设法选择了介于椭圆及超椭圆之间的曲线（两者都用样条函数近似），作为他的Computer Modern字体。

1959年时瑞典斯德哥尔摩提出了其市中心赛格尔广场圆环的设计竞赛。丹麦诗人皮亚特·海恩(1905–1996)的设计以是一个n = 2.5，a/b = 6/5的超椭圆为基础^[2]。他的说明如下：

人是唯一一种会画线然后将自己绊倒的动物。整个文明的推进有二个不同的取向：一种以直线及长方形为主，另一种则圆弧线为主。二种取向都有其机构上及心理上的原因。直线的事物可以放在一起，节省空间。而圆的东西很简单，容易移动。但我们常常会陷入要在二者中选择一个的困境，此时往往是介于二者中间的事物会更合适。随意绘制的作品－例如以往在斯德哥尔摩出现过的圆环－无法达到这一点。它不是一个固定的形状，也不像圆或方形有明确的定义，在美感上有所不足。超椭圆解决了这一个问题，它介于圆和长方形之间，既不是圆也不是长方形。它是一个有固定形状、有明确定义的一个整体。

赛格尔广场在1967年完成，而皮亚特·海恩继续在其他的艺术品中使用超椭圆，包括床、碟子、桌子等^[3]。皮亚特·海恩将超椭圆以长轴为轴心旋转，形成了一个立体的超级蛋（英语：superegg），其特点是可以平面上直立，不会倒下，因此变成一个特别的玩具。

1968年在巴黎在为越战谈判时，谈判者不满意谈判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄给纽约时报的信件中建议以超椭圆作为谈判桌的外形^[2]。1968年由墨西哥城主办奥运时，也以超椭圆为阿兹特克体育场的外形。

沃尔多·托布勒在1973年提出了托布勒超椭圆投影（英语：Tobler hyperelliptical projection）^[4]，其中的经线就是用超椭圆来表示。

美式足球球队匹兹堡钢人的标志是三个相连的超椭圆。

• 星形线，n = 2/3，且a = b的超椭圆，是四尖瓣的内摆线。
  • 三尖瓣线（英语：Deltoid curve），是三尖瓣的内摆线。
• 方圆形，n = 4，且a = b的超椭圆，看起来像是“正方形的轮子”。
  • 勒洛三角形，看起来像是“三角形的轮子”。
• 超公式（英语：Superformula），超椭圆的延伸。
• 超二次曲面（英语：Superquadrics），三维下的超椭圆。
• 超椭圆曲线（英语：Superelliptic curve），方程为Yⁿ = f(X)的曲线。