初拓扑

给定集合${\displaystyle X}$ ，一族拓扑空间${\displaystyle (Y_{i})_{(}i\in I)}$ ，与一族映射

${\displaystyle f_{i}:X\rightarrow Y_{i}}$ 

${\displaystyle X}$ 上的初拓扑${\displaystyle \tau }$ ，是使得

${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\rightarrow Y_{i}}$ 

均为连续的最粗糙拓扑。

更精确地说，初拓扑可以描述为由${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ 为子基（英语：subbase）生成的拓扑，这里的${\displaystyle U}$ 是${\displaystyle Y_{i}}$ 中的开集。集合${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ 通常也被叫做“圆柱集合（英语：cylinder set）”，如果指标集${\displaystyle I}$ 只包含一个元素，那么${\displaystyle (X,\tau )}$ 的全体开集都是圆柱集合。

• 子空间拓扑是在子空间上，关于包含映射的初拓扑。
• 积拓扑是关于一族投影映射的初拓扑。
• 局部凸拓扑向量空间（英语：Locally convex topological vector space）的弱拓扑（英语：Weak topology）是关于映射至其对偶空间的连续线性算子的初拓扑。

特征性质

给出任意拓扑空间${\displaystyle Z}$ ，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：
从${\displaystyle Z}$ 到${\displaystyle X}$ 的映射${\displaystyle g}$ 是连续的，当且仅当 ${\displaystyle f_{i}\circ g}$  是连续的。

Evaluation

从闭集分离点

称${\displaystyle f_{i}:X\rightarrow Y_{i}}$ 从闭集分离点，如果${\displaystyle X}$ 中任意闭集${\displaystyle A}$ ，与任意不属于${\displaystyle A}$ 的点${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle \exists i\in I}$ ，使得
${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$ 
这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：
一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合${\displaystyle X}$ 的一个基。

从这个定理可以得到，如果${\displaystyle X}$ 上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由${\displaystyle f^{-1}(U)}$ 为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合${\displaystyle X}$ 的一个基。

• Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6. 
• Initial topology. PlanetMath. 
• Product topology and subspace topology. PlanetMath.