布尔不等式

布尔不等式(英语:Boole's inequality),由乔治·布尔提出,指对于全部事件概率不大于单个事件的概率总和。

对于事件A1、A2、A3、......:

测度论上,布尔不等式满足σ次可加性

证明

布尔不等式可以用数学归纳法证明。

对于1个事件:

 

对于n个事件:

 
 
 
 
 
 .

使用马尔可夫不等式的证明

 是任意概率事件 是各种事件 的发生次数的随机变量。显然有:

 

因为 是非负随机变量,应用马尔可夫不等式,取 ,有:

 

注意到 

Bonferroni不等式

布尔不等式可以推导出事件并集上界下界,其关系称为Bonferroni不等式

定义:

 
 
 

对于奇数k:

 

对于偶数k:

 

参见

  • 容斥原理

参考资料