极端不连通空间

数学上，极端不连通空间是一种拓扑空间，适合以下的等价定义：

  1. 任何开集的闭包是开集。
  2. 任何闭集的内部是闭集。
  3. 任何两个不相交的开集，其闭包不相交。

一个极端不连通的紧致豪斯多夫空间，有时会称为Stonean空间。（注意与Stone空间的分别：Stone空间是完全不连通的紧致豪斯多夫空间。）Andrew Gleason的一条定理指紧致豪斯多夫空间范畴的投射对象正是极端不连通的紧致豪斯多夫空间。就如Stone空间和布尔代数之间有对偶性，Stonean空间和完全布尔代数范畴也有对偶性。

例子

以下是极端不连通空间：

  • 离散空间
  • 离散空间的斯通－切赫紧化
  • 交换冯·诺伊曼代数的谱

性质

极端不连通的豪斯多夫空间是完全不连通的。但完全不连通的豪斯多夫空间未必是极端不连通的，例如有理数集（予以实数线的子空间拓扑）。

极端不连通的第一可数集体豪斯多夫空间是离散空间。因此如果度量空间是极端不连通的，就是离散的。

参考