完全不连通空间

在拓扑学和相关的数学分支中，完全不连通空间是没有非平凡连通子集的拓扑空间。在所有拓扑空间中空集和单点集合是连通的，而在完全不连通空间中它们是仅有的连通子集，在此意义上，完全不连通空间是极大不连通。

完全不连通空间的重要例子是康托尔集合。另一个例子是在代数数论中扮演关键角色的p进数的域 Qp。

定义

拓扑空间 X 是完全不连通，如果在 X 中的连通分支是单点集合。

例子

下面是完全不连通空间的例子:

  • 离散空间。
  • 有理数空间。
  • 无理数空间。
  • p进数。更一般的说预有限群都是完全不连通的。
  • 康托尔集合.
  • Baire空间.
  • Sorgenfrey线。
  • 零维 T1 空间。
  • Stone空间。
  • Knaster-Kuratowski扇。

性质

  • 完全不连通空间的子空间、乘积和余积是完全不连通的。
  • 完全不连通空间是 T1 空间，因为点都是闭合的。
  • 完全不连通空间的连续像不必然是完全不连通的，事实上，所有紧致度量空间是康托尔集合的连续像。
  • 局部紧致豪斯多夫空间是零维的，当且仅当它是完全不连通的。
  • 所有完全不连通紧致度量空间同胚于离散空间的可数乘积的子集。

引用

  • Willard, Stephen, General topology, Dover Publications, 2004, ISBN 978-0-486-43479-7, MR2048350 

参见

  • 完全不连通群。