集合建构式符号

以三角形数的集合为例。三角形数有一个规则，它是正整数的和。

下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素：

${\displaystyle 1=1}$ 

${\displaystyle 1+2=3}$ 

${\displaystyle 1+2+3=6}$ 

${\displaystyle 1+2+3+4=10}$ 

${\displaystyle 1+2+3+4+5=15}$ 

${\displaystyle 1+2+3+4+5+6=21}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \vdots }$ 

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n=S}$ 

其中，n是正整数，S是左式的结果。

于是我们归纳出一个规则（即公式）：

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$ 

这个规则可代表集合T中的元素。于是，集合T可以简写为：

${\displaystyle T=\left\{S~\left|~S={\frac {n(n+1)}{2}},n\in \mathbb {N} ^{+}\right.\right\}}$ 

在上面的简单范例中，我们将一个繁复的集合表示法，透过一个简单的规则，重新以简单的符号来表示这个集合。

当一个集合的元素是用某种公式或条件（亦即，一个函数）所产生，这时候就可以用集合建构式来表示，例如：

• 偶数集合 = ${\displaystyle \{x:x}$ 是2的倍数${\displaystyle \}}$ 
• 负数集合 = ${\displaystyle \{x:x}$ 是小于0的数${\displaystyle \}}$ 

就哲学上来说，这些元素具有某种共同的性质（2的倍数，或是小于0）；在一阶逻辑中，这个性质可以使用谓词来表示，而该集合的一般格式为：

${\displaystyle A=\{x:P(x)\}}$ 

以偶数集合为例，其谓词${\displaystyle P=}$ “是2的倍数”。${\displaystyle P(x)=}$ “${\displaystyle x}$ 是2的倍数”，被称为一个命题函数。

集合${\displaystyle A}$ 的元素必定是另一个集合${\displaystyle B}$ 的元素${\displaystyle x}$ ，使得${\displaystyle P(x)}$ 为真（亦即，${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle B}$ 的一个子集），一般表述为：

${\displaystyle A=\{x:x\in B,P(x)\}}$ 或是${\displaystyle A=\{x\in B:P(x)\}}$ 

在这里，${\displaystyle P}$ 是谓词，${\displaystyle x}$ 是主词（${\displaystyle B}$ 集合中的一个元素），${\displaystyle P(x)}$ 是一个传回真假值的命题函数：

${\displaystyle P\colon B\rightarrow \{true,false\}}$ 

所以，在数学中，谓词被视为一种布林值函数。

在实例中，如果没有指定${\displaystyle B}$ 集合，就表示${\displaystyle B}$ 集合是由谓词${\displaystyle P}$ 所给出。

• 正整数集合可用下列建构式表示：
  • ${\displaystyle \{x:x}$ 是大于0的整数${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x:x>0\land x\in \mathbb {Z} \}}$ 
• 偶数集合可用下列建构式表示：
  • ${\displaystyle \{x:x}$ 是2的倍数${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x:x=2k,k\in \mathbb {Z} \}}$ 
• 负数集合可用下列建构式表示：
  • ${\displaystyle \{x~|~x}$ 是小于0的数${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x~|~\forall x\in \mathbb {R} ,x<0\}}$ 
  • ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ~|~x<0\}}$ 
• 平方数集合可用下列建构式表示：
  • ${\displaystyle \{x|x}${\displaystyle \{x~|~x}  是某个整数的平方${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x:x=k^{2};k\in \mathbb {Z} \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x^{2}:x\in \mathbb {Z} \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x\in \mathbb {N} :\exists k\in \mathbb {Z} }$  s.t. ${\displaystyle k^{2}=x\}}$ 

在这里，有几个习惯用法：

• 冒号和竖线是一样的，意思是“使得（such that，简写为s.t.）”。一般来说，冒号与竖线只使用在最前面，接下来的“使得”都使用别的符号，例如s.t.或是${\displaystyle \ni }$ 。但是偶尔也会看到这样的句子，奇数：

${\displaystyle \{n\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} :n=2k+1\}}$ 

另一个更简洁的句子可以表达相同的意思：

${\displaystyle \{2n+1:n\in \mathbb {Z} \}}$ 

• 一般来说，${\displaystyle \forall }$ 是省略不写的，但是偶尔会看到使用${\displaystyle \forall }$ 的句子。一个复杂的例句如下，非平方数：

${\displaystyle \{x\in \mathbb {N} :\forall k\in \mathbb {Z} ,k^{2}\neq x\}}$ 

• 逗号（,）、分号（;）与合取（${\displaystyle \land }$ ）的意思是一样的，都是合取（${\displaystyle \land }$ ）。
• 当元素的数域已经由命题所给出，通常就省略不写。

• 抽象化 (数学)
• 一阶逻辑

• StackExchange: Set-builder notation: is there another symbol for“such that”? （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• StackExchange: When are these set-builder notations the same and different? （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Some Fregean Considerations on Predicates and Their Reference （页面存档备份，存于互联网档案馆）