余有限空间

余有限拓扑

余有限拓扑是收集集合${\displaystyle X}$ 内所有子集${\displaystyle Y}$ 与集合${\displaystyle X}$ 的相对补集为有限集合的集合${\displaystyle Y}$ ，并将${\displaystyle Y}$ 定义为开集的拓扑，这样的拓扑空间称为余有限空间。符号上，

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}}$ 

性质

余有限拓扑的性质有：

• 可传子：余有限空间的子空间也是余有限的。
• 紧致、列紧
• T₁空间而非T₂空间
• Lindelöf空间
• 连通空间
• 可析空间
• 余有限拓扑是最粗糙的T₁空间：所有X 上的T₁拓朴必定包含X 的余有限拓扑。
• 若X 是有限的，则X 上的余有限拓朴与离散扑拓相同。

类似地可定义余可数空间。它必是Lindelöf空间和连通空间。

EX1

我们让${\displaystyle X=\mathbb {N} }$  ，则集合${\displaystyle \{3,4,5\}}$ ,${\displaystyle \{2\}}$ ,${\displaystyle \{1,3,5,7\}}$ 都是有限集合，因此他们的补集${\displaystyle \{1,2,6,7,8,...\}}$ ,${\displaystyle \{1,3,4,5,6,7,8,...\}}$ ,${\displaystyle \{2,4,6,8,9,...\}}$ 都是余有限拓朴内里。

但是并不是所有的无限集合都会在余有限拓朴中，例如我们取所有偶数的集合，他显然是自然数的子集，但是他不在余有限拓朴中，因为他的补集并不是有限的。同样的道理，所有奇数的集合也不在余有限拓朴中。

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446  (See example 18)