杨-米尔斯存在性与质量间隙

杨－米尔斯规范场论与质量间隙是理论物理中规范场论的一道基础问题，必须在数学上严格证明杨－米尔斯场论存在（即需符合构造性量子场论的标准），亦要证明它们有质量间隙，即模型所预测的最轻单粒子态为正质量。2000年，克雷数学研究所悬赏各一百万元的数学七大千禧年难题，其中一道题为杨－米尔斯规范场论同质量间隙。[1]

背景

 
杨振宁

在物理学中，杨-米尔斯理论是一种基于非阿贝尔群的量子规范理论[2]:508。20世纪初，物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合[3]:82-83。在这一方向上，最早出现的理论是英国物理学家保罗·狄拉克1927年创立的量子电动力学，简称QED[2]:7，它提供了对电磁现象的量子描述，成为麦克斯韦理论的一个量子版本[4][5]，能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然的，物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力和强力一道统一起来[6]:2。

1954年杨振宁和罗伯特·米尔斯提出了杨-米尔斯理论[7]，它是对QED的进一步推广[2]:481。在此基础上统一电磁力和强弱相互作用时，物理学家发现这一理论的“无质量性”成为症结所在[3]:88。经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程[8]，杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足“质量间隙”这一特征[3]:90，其官方表述为：对任意紧致、单的规范群，四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙[6]:6。质量间隙问题是量子色动力学理解强相互作用的理论关键，关乎理论物理学的数学基础，其解决将意味着一个数学上完整的量子规范场论的产生[6]:5。

这一问题的解决前景不甚乐观，爱德华·威滕也直言“（它）对现在而言实在是太难了[3]:92。”物理学家普遍相信质量间隙的存在，但至今未能找到确凿的数学和物理学证明[9]。

杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由亚瑟·贾菲（英语：Arthur Jaffe）和爱德华·威滕写出[6]。

目前所知多数非凡（nontrivial）──即有相互作用──的4维量子场论皆为有截断能标（英语：cutoff (physics)）的有效场论。因多数模型的beta-函数是正的，似乎大多数这类模型皆有一支朗道极点，因完全不清楚它们有没有非凡紫外定点。故此，若每一scale上皆定义有这样的量子场论[a]，它只可能为单纯的自由场论。

然而，有不可交换结构群的杨-米尔斯理论（无夸克）例外。它有一种性质称为渐近自由，指它有一单纯（trivial）的紫外定点（英语：UV fixed point）。因此，可以寄望它成为非凡的构造性（constructive）四维量子场模型[b]。

不交换群杨-米尔斯理论的色禁闭性已有符合理论物理严谨性的证明，但未有符合数理物理严谨性的证明[c]。基本上，换言之，过了QCD尺度（或者这里应称为禁闭尺度，因为无夸克），那些色荷粒子被色动力学的“流管”连着，所以粒子间有线性势（“弦”张力x长度）。所以胶子之类自由贺粒子不可能存在。若没有这些禁闭效应，应见到零质量的胶子；但因它们被禁闭，只见到不带色荷的胶子束绑态——胶波。凡胶波皆质量，所以期望质量间隙的存在。

格点规范场论（英语：lattice gauge theory）的结果令不少工作者相信，这个模型真的有禁闭现象（由Wilson圈的真空期望值的下降的“面积规律”(area law)看出），但这项结果还没有符合数学的严慬性。

参见

注释

  1. ^ 必需，因它要满足公理化量子场论的公理。
  2. ^ 而量子色动力学有费米夸克，当然较为复杂。
  3. ^ 读者可阅读相关文章：量子色动力学）、夸克禁闭，格点规范理论（英语：lattice gauge theory）。

参考文献

  1. ^ Jaffe A., Witten E. Quantum Yang Mills (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2021-01-21）. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Matthew D. Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press. 2013 [2015-08-06]. ISBN 9781107034730. （原始内容存档于2016-05-27）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Streater, Raymond F.; Wightman, Arthur S. PCT, Spin and Statistics, and All That. Princeton: Princeton University Press http://dx.doi.org/10.1515/9781400884230. 2001-12-31. ISBN 978-1-4008-8423-0.  缺少或|title=为空 (帮助)
  4. ^ Toichiro Kinoshita; Donald R. Yennie. The Birth of Quantum Field Theory. Quantum Electrodynamics. Advanced series on directions in high energy physics. World Scientific. 1990: 1 [2015-08-06]. ISBN 9789810202149. （原始内容存档于2016-05-29）. 
  5. ^ Silvan S. Schweber. The Birth of Quantum Field Theory. QED and the Men who Made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton series in physics. Princeton University Press. 1994: 39 [2015-08-06]. ISBN 9780691033273. （原始内容存档于2016-07-23）. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Arthur Jaffe and Edward Witten. Quantum Yang–Mills Theory (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-07-30]. （原始内容 (PDF)存档于2015-03-30）. 
  7. ^ Yang, C. N.; Mills, R. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review. 1954, 96 (1): 191–195. Bibcode:1954PhRv...96..191Y. doi:10.1103/PhysRev.96.191. 
  8. ^ Michael R. Douglas. Report on the Status of the Yang-Mills Millenium Prize Problem (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-08-08]. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-04）. 
  9. ^ A.S. Wightman; G. Velo. Fundamental Problems of Gauge Field Theory. Nato Science Series B illustrated. Springer Science & Business Media. 2013-11-11: 224 [2015-08-08]. ISBN 9781475703634. （原始内容存档于2016-05-31）.