维廷格函数不等式

数学上,实函数的维延格不等式傅里叶分析中的一条不等式,得名于威廉·维廷格德语Wilhelm Wirtinger。1904 年,其用作证明等周不等式。若干相关变式也称作维延格不等式。

定理

第一形式

  为周期 2π 的周期函数,其在 R 上连续,并有连续导数,且满足

 

 

其中等号成立当且仅当 f(x) = a sin(x) + b cos(x) 对某些 ab 成立(换言之,对某些 cd, 有 f(x) = c sin (x + d) )。

此形式的维延格不等式即是一维情形下的庞加莱不等式,并且具有最优的常数(庞加莱常数)。

第二形式

以下相关的不等式也称为维延格不等式:(Dym & McKean 1985):

f 为 C1 函数(即连续并具有连续导数)使得 f(0) = f(a) = 0, 则

 

此形式的维延格不等式即是一维的弗里德里希不等式英语Friedrichs' inequality

证明

两者证明类似。以下给出第一条不等式的证明。由于 f 满足狄利克雷条件,有傅立叶展开

 

由于 f 的积分为零,有 a0 = 0. 又由帕塞瓦尔恒等式,有

 

 

各项中   非负,而 n2 ≥1,故欲证的不等式成立。等号成立当且仅当对任意的 n ≥ 2, 皆有an = bn = 0.

参考文献

  • Dym, H; McKean, H, Fourier series and integrals, Academic press, 1985, ISBN 978-0-12-226451-1 
  • Paul J. Nahin (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press ISBN 0-691-11822-1
  • Komkov, Vadim (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661—668.

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