HP滤波

这个方法的思想类似于时间序列分解（英语：decomposition of time series）。令${\displaystyle \{y_{t}\},\ t=1,2,...,T\,}$ 表示一组时间序列变量的对数，则${\displaystyle \{y_{t}\}}$ 由一系列趋势项${\displaystyle \tau _{t}}$ 、周期项${\displaystyle c_{t}}$ 和误差项${\displaystyle \epsilon _{t}}$ 组成，即${\displaystyle y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\ +\epsilon _{t}}$ 。^[3]给定合适的正数${\displaystyle \lambda }$ ，存在一个趋势项满足

${\displaystyle \min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right)}$ 。

上式第一项表示变量偏离趋势项的误差${\displaystyle d_{t}=y_{t}-\tau _{t}}$ 的平方和，从而控制了周期项的大小；第二项用乘子${\displaystyle \lambda }$ 乘上趋势项二阶差分的平方和，从而控制了趋势项变化的剧烈程度。${\displaystyle \lambda }$ 越大，后者的控制就越强。霍德里克和普雷斯科特建议季度数据${\displaystyle \lambda }$ 取为1600，若单位不是季度则${\displaystyle \lambda }$ 正比于每单位所含季度数的平方，即年度数据取100、月度数据取14,400。^[1]雷文（Ravn）和乌利希（Uhlig）则在2002年发表的文章中提出${\displaystyle \lambda }$ 应该正比于数据每单位所含季度数的四次方，即年度数据${\displaystyle \lambda }$ 应取6.25、月度数据取129,600。^[4]

麦克尔罗伊的一篇论文中给出了双侧HP滤波谱分解的精确数学表达式^[5]。

HP滤波很容易实现，不过它也存在一定缺陷，只在以下严苛条件下才能做出最优估计：^[6]

• 时间序列是二阶整合（英语：Order of integration）的^[7]，否则HP滤波会得到偏离实际情况的趋势项。
  • 如果发生了单次的永久性冲击（permanent shock）或存在稳定的趋势增长率，HP滤波得到的周期项也会扭曲。
• 样本中的周期项是白噪音，或者趋势项和周期项中的随机变化机制相同。

标准的双侧HP滤波不应该用来估计基于递归状态空间表达的DSGE模型，这是因为HP滤波使用未来的观测${\displaystyle t+i,i>0}$ 去构造当前时间点${\displaystyle t}$ 的结果，但递归状态空间要求当前的观测仅基于当前和过去的状态。要解决这个问题，可以使用单侧HP滤波。^[8]

• 带通滤波器
• 卡尔曼滤波

• Enders, Walter. Trends and Univariate Decompositions. Applied Econometric Time Series Third. New York: Wiley. 2010: 247–7. ISBN 978-0470-50539-7. 
• Favero, Carlo A. Applied Macroeconometrics. New York: Oxford University Press. 2001: 54–5 [2019-07-06]. ISBN 0-19-829685-1. （原始内容存档于2020-09-22）. 
• Mills, Terence C. Filtering Economic Time Series. Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. New York: Palgrave McMillan. 2003: 75–102. ISBN 1-4039-0209-7. 

• 普雷斯科特给出的Fortran代码（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Matlab实现（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 单侧HP滤波的Matlab实现（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R语言实现的HP滤波，包名mFilter（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 在线进行HP滤波（页面存档备份，存于互联网档案馆）