谱半径

令λ₁, ..., λ_n是矩阵A ∈ C^n×n中的特征值，则其谱半径 ρ(A) is 定义为：

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$ 

${\displaystyle A}$ 的条件数可以用谱半径表示，公式为${\displaystyle \rho (A)\rho (A^{-1})}$ 。

谱半径是矩阵所有范数的一种下确界（infimum）。另一方面，${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ 对每一个矩阵范数 ${\displaystyle \|\cdot \|}$ 都成立，Gelfand公式指出${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$ 。不过，针对任意向量${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ，谱半径不一定会满足${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ 。若要说明原因，可以令${\displaystyle r>1}$ 为任意数，考虑矩阵${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$ 。${\displaystyle C_{r}}$ 的特征多项式是${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$ ，因此其特征值为${\displaystyle \pm 1}$ ，且${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$ 。不过${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$ ，因此${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|}$ ，其中${\displaystyle \|\cdot \|}$ 是${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 上的任何${\displaystyle \ell ^{p}}$ 范数。至于可以当${\displaystyle k\to \infty }$ 时，让${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$ 的原因是${\displaystyle C_{r}^{2}=I}$ ，因此当${\displaystyle k\to \infty }$ 时，使${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1}$ 。

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ 针对所有${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ 

成立的条件是${\displaystyle A}$ 为埃尔米特矩阵及${\displaystyle \|\cdot \|}$ 为欧几里得范数。

有限图的谱半径定义为其邻接矩阵的谱半径。

此一定义可以扩散到无限图，但是其每个顶点都只连接有限个顶点（存在一实数C使得每一个顶点的度都小于C）。此情形下，针对图G可定义：

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$ 

令γ是 G的邻接算子：

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}$ 

G的谱半径定义为有界线性算子γ的谱半径。

矩阵谱半径的上界

以下的命题指出了一个简单但是有用的矩阵谱半径上界：

命题：令A ∈ C^n×n，其谱半径为ρ(A)，以及相容（Consistent）矩阵范数 ||⋅||。则针对每一个整数${\displaystyle k\geqslant 1}$ :

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ 

证明

令(v, λ)为矩阵A的特征值-特征向量对。利用矩阵范数的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}$ 

因为v ≠ 0，可得

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$ 

因此

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ 

图谱半径的上界

有关n个顶点，m个边的图，有许多的谱半径的上界公式。例如，若

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$ 

其中${\displaystyle 3\leq k\leq n}$ 为整数，则^[1] ：

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$ 

定理

谱半径和矩阵乘幂数列是否收敛有紧密的关系。以下的定理会成立：

定理：令A ∈ C^n×n，其谱半径ρ(A)。则ρ(A) < 1当且仅当

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$ 

另一方面，若ρ(A) > 1, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$ 。上述叙述针对C^n×n上的任何矩阵范数都有效。

定理证明

假设问题中的极限值为零，可以证明ρ(A) < 1。令(v, λ)为A的特征值和特征向量对。因为A^kv = λ^kv可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$ 

因为假设v ≠ 0，会得到

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}$ 

表示|λ| < 1。因为这对任何一个特征值都会成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下来假设A的谱半径小于1。根据若尔当标准型定理，可以知道针对所有的A ∈ C^n×n，存在V, J ∈ C^n×n以及非奇异的V和J分块对角矩阵使得：

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$ 

而

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$ 

其中

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$ 

因此可得

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$ 

因为J是分块对角矩阵

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$ 

而${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$ 若尔当方块矩阵k次方可以得到，针对${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$ ：

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$ 

因此，若${\displaystyle \rho (A)<1}$ ，则针对所有的i，${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$ 都会成立。因此针对所有的i，可得：

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$ 

这也表示

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$ 

因此

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$ 

另一方面，若${\displaystyle \rho (A)>1}$ ，当k增加时，在J中至少有一个元素无法维持有界，因此证明了定理的第二部分。

定理

以下的定理可以用[矩阵范数的极限来计算T谱半径

定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩阵范数 ||⋅||,，可得

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}$ ^[2].

证明

令任意ε > 0，先建构以下二个矩阵：

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$ 

则:

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$ 

先将之前的定理应用到A₊:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$ 

这表示，根据级数极限定理，一定存在N₊ ∈ N使得针对所有的k ≥ N₊，下式都成立

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}$ 

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}$ 

将之前的定理用在A₋，表示${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$ 无界，一定存在N₋ ∈ N使得针对所有的k ≥ N₋，下式都成立

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}$ 

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}$ 

令N = max{N₊, N₋},，可得：

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$ 

因此，依定义，可得下式

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$ 

考虑以下矩阵

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$ 

其中的特征值为5, 10, 10。依照定义，ρ(A) = 10。在以下的表中，会以四个最常用的矩阵范式，在k增加时，计算${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$ （注意，因为此矩阵特殊的形式，${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$ ）:

针对有界线性算子 A 及算子范数 ||·||，可以得到

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ 

（复数希尔伯特空间上的）有界算子若其谱半径等于数值半径（英语：numerical radius），可以称为“谱算子”（spectraloid operator）。其中一个例子是正规算子。

• 联合谱半径
• 谱隙（英语：Spectral gap）
• 矩阵的谱

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963 
• Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1