辛矩阵

凡扭对称矩阵皆可逆，其逆矩阵可表为

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega }$ 

其中，反对称矩阵${\displaystyle \Omega }$ 具有如下运算性质：

${\displaystyle \Omega ^{T}=-\Omega =\Omega ^{-1}\,\!}$  ,

${\displaystyle \Omega ^{T}\Omega =\Omega \Omega ^{T}=I_{2n}\,\!}$  ,

${\displaystyle \Omega \Omega =-I_{2n}\,\!}$  ,

${\displaystyle det(\Omega )=1\,\!}$  。

此外，扭对称矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭，因此一个域${\displaystyle F}$ 上的所有${\displaystyle 2n}$ 阶扭对称矩阵构成一个群，记为${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$ 。事实上它是${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,F)}$ 的闭代数子群，其维度为${\displaystyle n(2n+1)}$ 。当${\displaystyle F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ 时，${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$ 带有自然的（复）李群结构。

由定义可知扭对称矩阵的行列式等于${\displaystyle \pm 1}$ ；事实上，可以利用普法夫值的公式：

${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{T}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega )}$ 。

由于${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$ 、${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$ ，遂导出${\displaystyle det(M)=1}$ 。

当${\displaystyle n=1}$ 时，有${\displaystyle \mathrm {Sp} (2)=\mathrm {SL} (2)}$ 。换言之：二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

在线性代数的抽象框架里，我们可以用偶数维向量空间${\displaystyle V}$ 上的线性变换取代偶数阶矩阵，并固定一个非退化反对称双线性形${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$ 以取代矩阵${\displaystyle \Omega }$ （赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间），如此便得到与基底无关的定义：

定义。一个扭对称向量空间${\displaystyle (V,\omega )}$ 上的线性变换${\displaystyle L:V\to V}$ 若满足

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)}$ 。

则称${\displaystyle L}$ 为扭对称变换。

考虑${\displaystyle \eta :=\wedge ^{\frac {\dim V}{2}}\omega }$ ，由于${\displaystyle L^{*}(\omega )=\omega }$ ，故${\displaystyle L^{*}(\eta )=\eta }$ ；另一方面，${\displaystyle L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta }$ ，于是得到${\displaystyle \det L=1}$ 。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定${\displaystyle V}$ 的一组基，借此将${\displaystyle L}$ 写成矩阵${\displaystyle M}$ ，并将${\displaystyle \omega }$ 表成斜对称矩阵${\displaystyle \Omega }$ ，便回到先前的定义：

${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }$ 。

• 辛标记
• 辛向量空间
• 辛群
• 辛表示（英语：Symplectic representation）
• 正交矩阵
• 酉矩阵
• 哈密顿力学
• 正则变换

• Symplectic matrix. PlanetMath. 
• The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial. PlanetMath.