格拉姆矩阵

线性代数中,内积空间中一族向量 格拉姆矩阵Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian)是内积埃尔米特矩阵,其元素由 给出。

一个重要的应用是计算线性独立:一组向量彼此线性独立当且仅当格拉姆行列式(格拉姆矩阵的行列式)不等于零。

格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆英语Jørgen Pedersen Gram命名。

例子

最常见地,向量是欧几里得空间中元素,或 L2 空间中函数,比如闭区间 [ab] 上的连续函数(是 L 2([ab])的子集)。

给定区间   上的数值函数  ,格拉姆矩阵 ,由函数的标准内积给出:

 

给定一个实矩阵 A,矩阵 ATAA 的列向量的格拉姆矩阵,而矩阵 AATA 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何上的有限维向量空间上的双线性形式 B,我们可对一组向量   定义一个格拉姆矩阵 G  。如果双线性形式 B 对称则该格拉姆矩阵对称。

应用

  • 如果向量是随机变量,所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。
  • 量子化学中,一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵(Overlap matrix)。
  • 控制论(或更一般的系统理论中),可控制性格拉姆矩阵可观测性格拉姆矩阵交叉格拉姆矩阵确定了线性系统的性质。
  • 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中(比如可参见 Jamshidian & Bentler (1993))。
  • 有限元方法中,格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时;格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积。

性质

半正定

格拉姆矩阵是半正定的,反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的:任何正交基的格拉姆矩阵是单位矩阵。

这个命题无穷维类比是Mercer定理英语Mercer's theorem)。

基变换

在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下,格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 PTGP

格拉姆行列式

格拉姆行列式Gram determinant 或 Gramian)是格拉姆矩阵的行列式:

 

在几何上,格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地,这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零(当且仅当格拉姆矩阵非奇异)。

外部链接

  • Jamshidian; Bentler, Applied Psychological Measurement 18: 79 – 94, 1993