1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

数学上,发散级数

是被欧拉首次研究,他应用重求和方法给级数赋予一个有限的值[1]。此级数是被交替加减的阶乘之总和。要给发散级数赋值,其中一个方法是用博雷尔和,其型式上写成:

若我们对总和和积分进行转乘(忽略两者其实都是不收敛的),将得到:

在中括号中的总和收敛,并等于1/(1 + x),若x < 1。若我们继续对所有实数x分析1/(1 + x),可以得到收敛积分的总和:

此处的指数积分。这是根据博雷尔和对级数的定义。

结果

k为前十个值,其结果如下:

k 增量
计算
增量 结果
0 1 · 0! = 1 · 1 1 1
1 −1 · 1 −1 0
2 1 · 2 · 1 2 2
3 −1 · 3 · 2 · 1 −6 −4
4 1 · 4 · 3 · 2 · 1 24 20
5 −1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −120 −100
6 1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 620
7 −1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −5040 −4420
8 1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 40320 35900
9 −1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −362880 −326980

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注释

  1. ^ Euler 1760,p.205)

参考资料

  • Euler, L., De seriebus divergentibus (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 1760, (5): 205–237 [2014-03-13], (原始内容存档于2013-09-26)