1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

数学上，发散级数：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!}$

是被欧拉首次研究，他应用重求和方法给级数赋予一个有限的值^[1]。此级数是被交替加减的阶乘之总和。要给发散级数赋值，其中一个方法是用博雷尔和，其型式上写成：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx}$

若我们对总和和积分进行转乘（忽略两者其实都是不收敛的），将得到：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx}$

在中括号中的总和收敛，并等于1/(1 + x)，若x < 1。若我们继续对所有实数x分析1/(1 + x)，可以得到收敛积分的总和：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots }$

此处的${\displaystyle E_{1}(z)}$是指数积分。这是根据博雷尔和对级数的定义。