分数傅里叶变换

数学中,分数傅里叶变换(Fractional Fourier transform,缩写:FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier Transform)的广义化。近几年来,分数傅里叶变换除了在信号处理领域有相当广泛的应用,其也在数学上被单独地研究,而定义出如分数回旋积分(Fractional Convolution)、分数相关(Fractional Correlation)等许多相关的数学运算。

分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 次,其中 不一定要为整数;而做了分数傅里叶变换之后,信号或输入函数便会出现在介于时域频域之间的分数域(Fractional Domain)。

若再更进一步地广义化分数傅里叶变换,则可推广至线性标准变换

由来

对信号   做一次傅里叶变换的结果为  ,做两次傅里叶变换的结果为  ,表示成  ,而当做了   次的傅里叶变换可以写成一般式   。至此,都以  为整数做考量,当令    时,将  分数傅里叶变换定义为  ,其中   可以不必为整数。

历史

分数傅里叶变换这个概念,其实最早在公元1929年,N.Wiener就已提出,但是并没有受到太多的瞩目。过了约莫50年,V.Namias 在公元1980年重新提出(称之为重发明)这个概念,但是一直到公元1994年,才有人真正把分数傅里叶变换用在信号处理上,此人为 L. B. Almeida。详细历史:1937年提出分数傅里叶变换的概念雏形; 1980年Namias较明确地提出分数傅里叶变换的数学表达式,并将其用于具有确定边界条件的量子力学薛定谔方程的求解1987年Bride & Kerr 给出严格的数学定义以及性质1993年由德国的学者罗曼,土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次将分数傅里叶变换概念引入光学并给出了相应的光学过程; Mendlovic&Ozaktas:渐变折射率GRIN介质中光传播。 A. W. Lohmann: 维格纳分布函数和以及透镜实现,自由空间的光衍射。 1993年Ozaktas,罗曼,Mendlovic等人在光学中全面引入分数傅里叶变换; 1995年Shih提出了另外一种分数傅里叶变换的形式; 1997年刘树田等人根据Shih的定义给出了广义分数傅里叶变换,1999年刘树田等人将分数傅里叶变换应用于图像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分数傅里叶变换及其在光学和信号处理中应用”一书。

定义

第一种定义:

 

第二种定义:

 

 ,   为实数。

  时 (亦即   ),分数傅里叶变换就成了傅里叶变换

表示法

  ,则可推广为 ;依此类推, 表示  次逆变换 

分数傅里叶变换将以上定义推广至非整数次的 ,且 实数,表示为

 

 是一个整数时则代表傅里叶变换做 次。

例如:

 时相当于做一次傅里叶变换,如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上,则是对信号顺时针转90度

 时相当于做两次傅里叶变换,如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上,则是对信号顺时针转180度, 

 时相当于做三次傅里叶变换,如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上,则是对信号顺时针转270度

 时相当于做四次傅里叶变换,如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上,则是对信号顺时针转360度, 

性质

对于任一实数 ,一个对 函数做 角度分数傅里叶变换定义为

 

并且具备以下特性

  • 加法性(Additivity)

 

  • 线性(Linearity)

 

  • 整数傅里叶性质(Integer Orders)

 ,其中 为一整数则相当于做 次傅里叶变换;

 时,这个定义就变成了连续傅里叶变换的定义 ,

 时,它就变成了连续傅里叶变换之逆变换的定义。

  的整数倍,则余切函数余割函数不会收敛。

有一方法可解决此问题,就是取limit让以上定义变成有一个狄拉克δ函数被积分的情况,使得

 

  • 反转性质(Inverse)

 

  • 交换性(Commutativity)

 

  • 结合律(Associativity)

 

  • 帕塞瓦尔定理(Parseval Theorem)

若从时频分析图上来看,代表的意义是在时频分析上旋转一角度后能量守恒

 

定理

  的分数傅里叶变换 ( )的时频分布,等同于   的时频分布(维格纳分布,加伯变换)顺时针旋转角度  ,用数学式子表示如下:

维格纳分布(Wigner distribution function)

假设

(a)    的维格纳分布

(b)    的维格纳分布

(c)    的分数傅里叶变换

,则 


加伯变换(Gabor transform)

假设

(a)    的加伯变换

(b)    的加伯变换

(c)    的分数傅里叶变换

,则 

例子一:

对一个加伯变换后的余弦函数做不同角度的分数傅里叶变换。如下图

例子二:

对一个加伯变换后的矩形函数做不同角度的分数傅里叶变换。如下图

应用

可用分解信号和滤除噪声;一般来说分为两种,一种是在时域(Time domain)上,一种是在频域(Frequency domain)上,

这边利用分数傅里叶变换使其在分数域当中滤波。

(一)时域

假设现在 是由两个信号组成:

 

   用数学表示分别如下:

 
 
 


由式子可以很明显地看出, 两信号是方波。

若要将这两个信号分开,是非常简单的一件事情,因为这两个信号在时域上毫无重叠,便可以直接在时域上将这两个信号分开。

  乘上   时, 这个信号会被保留, 这个信号就被滤掉了。

此作法可成功将这两个信号分开。

限制

此种方法的限制为欲分解的信号必须在时域不能重叠,否则无法成功分解。


(二)频域

 
  

可以很明显地看出   在时域上完全重叠,因此很难在时域分解这两个信号。

此时,可以妥善利用傅里叶变换将信号 转到频域,其在频域的表示式如下所示:

 
 
 

 可以很明显地看出,若要将这两个信号在频域上分开,是非常简单的一件事情,因为这两个信号经过傅里叶变换后,在频域上完全没有重叠。

例子

假设   为一个低通滤波器(Low-pass Filter)

 

  乘上   时,  会被保留,  就被滤掉了。

反之,若要保留   而滤掉   ,则可以使用高通滤波器(High-pass Filter)。

这种把欲处理信号先变换到频域,再做分解的动作,是滤波器设计的常见方法之一。

限制

欲分解的信号必须在频域不能重叠,否则无法成功分解。


(三)时频域分解

  (啁啾噪声) + 三角波信号。

三角波信号(蓝色)是我们要的信号,将前面的啁啾(绿色)视为噪声,由图中可以发现到,

不论在时域或是频域,皆无法直接将噪音项 去除,这是因为 和三角波信号在时域和频域皆重叠(如下图左上、右上)。

因此,对于两个在时、频域皆重叠的信号来说,很难在一维的时域和频域中将其分解。

但若使用二维时频分析,则将有机会可以将两个在时、频域皆重叠的信号分解。

这是因为两个在时、频域皆重叠的信号其时频分布并不一定会重叠。因此,只要这两个信号的时频分布没有互相重叠,就可以善用分数傅里叶变换将其成功分解(如下图左下、右下)。

 


例子一

假设有噪音干扰,所以接收到的信号除了原始信号以外,还包含了噪声。

用时频分析方法来处理接收到的信号,黑色为原始信号(signal)的时频分布,而绿色为噪音(noise)的时频分布,如下图。

 

现在想把噪声滤掉,以下探讨3种方法来还原原始信号。

方法1 : 使用垂直的 Cutoff line

若在时频分布图中使用垂直的 Cutoff line ,就相当于在一维时域中,要把信号和噪音分离。

但是由下图可清楚看出,使用垂直的 Cutoff line 后,仍然会有一部分的噪音无法被去除。

因此方法1无法完美重建原始信号,而会有扭曲的情形发生。

 


方法2 : 使用水平的 Cutoff line

若在时频分布图中使用水平的 Cutoff line ,就相当于在一维频域中,要把信号和噪音分离。

但是由下图可清楚看出,使用水平的 Cutoff line 后,仍然会有一部分的噪音无法被去除。

因此方法2也无法完美重建原始信号,而会有扭曲的情形发生。

 


方法3 : 使用斜的 Cutoff line

若在时频分布图中使用斜的 Cutoff line ,则可以完美分离信号和噪音。如下图。

Cutoff line 的参数包含了     是cutoff line和纵轴f-axis的夹角,而   则是cutoff line 距离原点的距离。

 


以下示范如何使用分数傅里叶变换和Cutoff line来将噪音滤除:

步骤(1) 首先决定cutoff line和纵轴f-axis的夹角  

步骤(2) 利用分数傅里叶变换对时频分布旋转  ,使 cutoff line 垂直横轴 t-axis。

步骤(3) 算出  后,再利用低通遮罩(Low pass Mask)将噪音滤掉。

步骤(4) 最后再做一次分数傅里叶变换  ,将时频分布旋转回原来的位置。


令接收到的信号为  ,最后得到的信号为  ,可将以上步骤用数学式子表示如下:

 
 
例子二:
假设发射一信号s(t),中间受到噪声干扰,最后收到的信号为f(t)=s(t)+noise
 
(a) 发射信号的时域图
(b) 接收信号的时域图
(c) 发射信号的韦格纳分布
(d) 接收信号的韦格纳分布,有由此可见cross-term已经大大的影响时频图的可见姓,加上噪声后的韦格纳分布更是无法清楚地将信号分离开来
(e) 发射信号的加伯变换
(f) 接收信号的加伯变换
(g) 接收信号的加伯-维格纳变换
(h) 滤波器的设计,这边总共有四条cutoff lines,其中有两条平行,所以总共需要做三次不同的分数傅里叶变换,再借由cutoff lines来去除噪声
(i) 滤波器的设计,这边总共有四条cutoff lines,其中有两条平行,所以总共需要做三次不同的分数傅里叶变换,再借由cutoff lines来去除噪声
(j) 对(i)做分数傅里叶变换
(k) 利用高通滤波器滤波,把两条cutoff lines设置在低频
(l) 经过(k)滤波器以后
(m) 透过同上的手法再做两次低通滤波器,把旁边两条线给去除后可得到的还原信号
(n) 发射信号(蓝色)和还原信号(绿色)的比较,两者的MSE仅有0.1128%

由以上可知,透过分数傅里叶旋转时频图的技巧来设计滤波器,我们可以精准地还原信号

例子三:

一样假设接收信号受到了噪声干扰

(a) 发射信号

(b) 接收信号

(c) 接收信号的韦格纳分

(d) 接收信号的加伯变换

(e) 接收信号的加伯-维格纳变换,在这边的滤波器需要五条cutoff lines(蓝线),但有两条是垂直时间轴,可以直接在时间轴上去除,剩下的三条则需要利用分数傅里叶变换来去除。

(f) 还原信号,MSE仅0.3013%

比较傅里叶变换和分数傅里叶变换

傅里叶变换

优点: 运算复杂度较低,有快速傅里叶变换的算法。

缺点: 仅有一个维度,频域,来分析;噪声若和信号重叠,则难以分离。

分数傅里叶变换

优点: 运用旋转的技巧在时频图上去除噪声,多了一个维度(时域)来分析;除非噪声和信号同时在频域和时域上重叠,否则将可以分离两信号。

缺点: 运算复杂度较高。

相关条目

其他的时间-频率变换:

  • 短时傅里叶变换
  • 小波变换
  • chirplet变换

外部链接

参考文献

  • N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
  • V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
  • Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
  • Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
  • D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
  • Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013