子序列

假设有一条数列${\displaystyle X_{n}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots )}$ 。可以在里面抽出指定的项组成新的子数列，${\displaystyle X_{n}'=(x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},\cdots )}$ 。

因为${\displaystyle X_{n}=(x_{n})}$ ，${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 是自然数，而且它会随着项数增加而增加，所以它的子数列${\displaystyle X_{n}'=(x_{n_{k}})}$ ，${\displaystyle n_{k}\in \mathbb {N} }$ 都会随着项数增加而增加。

注意：子数列的次序必须和主数列的次序一样。

例子

${\displaystyle X_{n}=(1,2,3,4,5,6,7,8\cdots )}$ ，只抽出双数项，就会有子数列。${\displaystyle X_{n}'=(2,4,6,8\cdots )}$ 。

有二种定义

定义一

令 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  为一任意序列及 ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots }$  皆为自然数。那么，称序列

${\displaystyle a_{n_{1}},a_{n_{2}},a_{n_{3}},\cdots }$ 

是 ${\displaystyle (a_{n})}$  的一子序列。其符号表示为 ${\displaystyle (a_{n_{j}})}$ ，其中 ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$  是子序列的索引。

定义二

对任意两序列 ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  及 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ，称 ${\displaystyle (y_{n})}$  是 ${\displaystyle (a_{n})}$  的一子序列当且仅当

1. ${\displaystyle (y_{n})}$  是由 ${\displaystyle (a_{n})}$  的元素所组成。
2. 存在一严格递增函数 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ，使得对所有 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ， ${\displaystyle y_{n}=a_{f(n)}}$ 

令 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$  为一序列

${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots \right)}$ 

那么，以下序列

${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{9}},\cdots \right)}$ 

是 ${\displaystyle (a_{n})}$  的子序列之一。对应定义里的自然数子序列 ${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3},\cdots )}$  为 ${\displaystyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$ ，而所对应的映射函数为 ${\displaystyle f(n)=n^{2}}$ 。

• （英文）Stephen Abbott, Understanding Analysis, Springer, 2010, ISBN 978-1441928665 

• 序列
• 子序列极限
• 上极限和下极限
• Erdős–Szekeres定理

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