去趋势波动分析

给定一个受约束的时间序列${\displaystyle x_{t}}$ ，其长度为${\displaystyle N}$ , 其中 ${\displaystyle t\in \mathbb {N} }$ 。首先对其做积分或求和，化为无约束过程${\displaystyle X_{t}}$ :

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\rangle )}$ 

其中${\displaystyle \langle x\rangle }$ 代表时间序列的均值。${\displaystyle X_{t}}$ 称为累积和。这个过程会将独立同分布的白噪声变换为随机游走。

接下来，将${\displaystyle X_{t}}$ 分为不同长度的时间窗口，窗口长度记为${\displaystyle n}$ ，然后在每个时间窗口内最小化平方误差，得到局部最小二乘的拟合直线（局部趋势）。令${\displaystyle Y_{t}}$ 代表得到的拟合直线序列。接着计算与趋势的均方根偏差，即波动，如下：

${\displaystyle F(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^{2}}}.}$ 

最后，将这个去趋势、波动分析的过程对不同的窗口大小${\displaystyle n}$ 重复计算，得到${\displaystyle F(n)}$ 关于${\displaystyle n}$ 的双对数坐标图。^[2][3]