驴桥定理

驴桥定理（拉丁语：Pons asinorum），也称为等腰三角形定理，是在欧几里得几何中的一个数学定理，是指等腰三角形二腰对应的二底角相等。此定理出现在欧几里得的几何原本第一卷命题五。

Byrne版几何原本中，驴桥定理的内容，有列出部分欧几里得的证明

有关其名称驴桥定理的由来有二种：一种是几何原本中的示意图即为一座桥；另外一种较为大家接受的说法，则是指这是几何原本中第一个对于读者智力的测试，并且做为后续更困难命题的桥梁[1]。几何学是列在中世纪的四术之中，驴桥定理是在几何原本的前面出现的较困难命题，是数学能力的一个门槛，也称之为“笨蛋的难关”[2]，无法理解此一命题的人可能也无法处理后面更难的命题。

无论其名称的由来为何，驴桥定理一词已变成了一种隐喻，暗示对能力或了解程度的关键测试，可以区分了解及不了解的人[3]。

证明

欧几里得的证明

 
欧几里得几何原本第一卷的命题五

欧几里得的证明包括第二个结论，就是若三角形的二腰延伸超过底边，则二腰延长线和底边的夹角也会相等。欧几里得的证明中包括了绘制二腰延长线的辅助线，但当时的数学家普罗克鲁斯指出他没有用到第二个结论，而且若在三角形内部绘辅助线，会使证明比较简单。欧几里得的证明用到称为SAS的三角形全等，是几何原本中的上一个命题。[4]

其他证明方式

 
人教版数学教科书证明

在教科书（例如人教版数学教科书在八年级“轴对称”一章）上常见的作法是作顶角A的角平分线[5]。此证明方式比欧几里德的简单，但在几何原本中命题9才是作角平分线[6]，因此若几何原本中在命题5就使用角平分线，会有循环论证的问题。

其证明如下：

  1. 令三角形为ABC，其中线段AB = 线段AC。
  2. 作角BAC的角平分线，和线BC交与X点。
  3. 线段AB = 线段AC，线段AX和自身等长，而且角BAX = 角CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。

勒让德在《几何原理（英语：Éléments de géométrie）》用了一个类似的方式证明，不过令X是线段BC的中点[7]。其证明方式类似，但是会用到SSS全等，而在欧几里德的几何原本未提到SSS全等。

帕普斯在约公元300年用了一个非常简短的方法证明: 等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 则三角形ABC与ACB全等(SSS), 故三角形ABC 两底角相等 Q.E.D. 在约1960年，赫伯特·吉伦特（英语：Herbert Gelernter）编写的程序也得到了相同的证明。[8]

用作隐喻的驴桥定理

  • 十四世纪作家理查德·昂格维尔（英语：Richard Aungerville）在《书之爱（英语：Philobiblon）》中将驴桥定理比拟为没有梯子辅助的陡峭山坡，感叹多少可能成为几何学家的人因此而回头[9]。
  • 在直言三段论中，“驴桥”作为寻找三段论中项的一个隐喻，同时有桥梁及考验的含意在内[9]。
  • 经济学家约翰·斯图尔特·密尔认为David Ricardo的地租理论是经济学中的驴桥定理[10]。
  • 驴桥也是魔术方块中的一个特殊组态。

相关条目

  • 示播列：旧约圣经中试验是否为以法莲人的一句话，是用来区别一个人的社会或地区背景的指标。

参考资料

  1. ^ D.E. Smith History of Mathematics (1958 Dover) p. 284
  2. ^ 吴任哲. 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學. HPM通讯第四卷8,9期合刊. [2013-08-21]. （原始内容存档于2013-08-04）. 
  3. ^ Pons asinorum - Definition and More from the Free Merriam. [2013-08-21]. （原始内容存档于2010-02-20）. 
  4. ^ 第一卷命題五. [2016-07-02]. （原始内容存档于2016-07-10）. 
  5. ^ 例如J.M. Wilson Elementary geometry (1878 Oxford) p. 20
  6. ^ 洪万生. 驢橋定理. 科学月刊1983年4月160期. [2013-08-21]. [永久失效链接]
  7. ^ A. M. Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
  8. ^ 侯世达. 哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异壁之大成. 商务印书馆. 1996 p. 796
  9. ^ 9.0 9.1 A. F. West & H. D. Thompson "On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions" The Princeton University bulletin Vol. 3 No. 4 (1891) p. 84
  10. ^ Henry Dunning Macleod The Elements of Economics (1886 D. Appleton) Vol. 2 p. 96