垂足三角形

如果${\displaystyle ABC}$ 不是钝角三角形，则其垂足三角形${\displaystyle LMN}$ 的内角角度分别为${\displaystyle 180^{\circ }-2A}$ 、${\displaystyle 180^{\circ }-2B}$ 、${\displaystyle 180^{\circ }-2C}$ 。^[1] 若${\displaystyle P}$ 点位于三角形${\displaystyle ABC}$ 的特殊中心上，则有一些特殊情况：

• 若${\displaystyle P}$ 是${\displaystyle ABC}$ 的垂心，则${\displaystyle LMN}$ 是垂心三角形（英语：Orthic triangle）。
• 若${\displaystyle P}$ 是${\displaystyle ABC}$ 的内心，则${\displaystyle L,M,N}$ 是${\displaystyle ABC}$ 之内切圆的三个切点。
• 若${\displaystyle P}$ 是${\displaystyle ABC}$ 的外心，则${\displaystyle LMN}$ 是中点三角形。

若${\displaystyle P}$ 点以三角形${\displaystyle ABC}$ 为基准的三线坐标是${\displaystyle p:q:r}$ ，则其垂足三角形的顶点${\displaystyle L,M,N}$ 坐标为：

${\displaystyle L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}}$ 

${\displaystyle M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}}$ 

${\displaystyle N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0}$ 

西姆松定理

若${\displaystyle P}$ 点位于${\displaystyle ABC}$ 的外接圆上，则${\displaystyle L,M,N}$ 共线，反之亦然。这条线被称为垂足线（英语：Pedal line），又称为西姆松线（英语：Simson line）。

卡诺定理

${\displaystyle A,B,C,L,M,N}$ 六点满足以下等式：^[2]

${\displaystyle {\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}}$ 

过${\displaystyle A}$ 作一条垂直于${\displaystyle {\overline {PA}}}$ 的直线，过${\displaystyle B}$ 作一条垂直于${\displaystyle {\overline {PB}}}$ 的直线，过${\displaystyle C}$ 作一条垂直于${\displaystyle {\overline {PC}}}$ 的直线，则这三条直线构成的三角形称为反垂足三角形（英语：Antipedal triangle）。在这个反垂足三角形中，设与${\displaystyle A}$ 相对的顶点为${\displaystyle A^{\prime }}$ ，与${\displaystyle B}$ 相对的顶点为${\displaystyle B^{\prime }}$ ，与${\displaystyle C}$ 相对的顶点为${\displaystyle C^{\prime }}$ 。

${\displaystyle ABC}$ 是${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$ 在${\displaystyle P}$ 点上的垂足三角形，这也是其名称的由来。

若${\displaystyle P}$ 点以三角形${\displaystyle ABC}$ 为基准的三线坐标是${\displaystyle p:q:r}$ ，则反垂足三角形的顶点${\displaystyle A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }}$ 坐标为：^[3]

${\displaystyle A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})}$ 

${\displaystyle B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})}$ 

${\displaystyle C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})}$ 

一个特殊的例子是，如果${\displaystyle P}$ 点位于内心，则该反垂足三角形以${\displaystyle ABC}$ 的三个旁心为顶点。