瓦特曲线

极坐标系

极坐标系方程可以用下式推导^[1]： 在复数平面上，令二圆的圆心为a和−a，二圆连线的端点为−a+be^{i λ}和a+be^{i ρ}。令线段相对水平线的斜角ψ，其中点为re^{i θ}，则二端点也可表示为re^{i θ} ± ce^{i ψ}。二端点的二种表示式可得：

${\displaystyle a+be^{i\rho }=re^{i\theta }+ce^{i\psi }.\,}$ 

${\displaystyle -a+be^{i\lambda }=re^{i\theta }-ce^{i\psi }\,}$ 

二式相加再除二可得

${\displaystyle re^{i\theta }={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }+e^{i\lambda })=b\cos({\tfrac {\rho -\lambda }{2}})e^{i{\tfrac {\rho +\lambda }{2}}}.}$ 

比较半径及幅角可得

${\displaystyle r=b\cos \alpha ,\ \theta ={\tfrac {\rho +\lambda }{2}}\ {\mbox{where}}\ \alpha ={\tfrac {\rho -\lambda }{2}}.}$ 

一开始的二式相减再除二可得

${\displaystyle ce^{i\psi }-a={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }-e^{i\lambda })=ib\sin \alpha e^{i\theta }.}$ 

将a以下式表示

${\displaystyle a=a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }.\,}$ 

因此

${\displaystyle ce^{i\psi }=ib\sin \alpha e^{i\theta }+a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }=(a\cos \theta \ +i(b\sin \alpha -a\sin \theta ))e^{i\theta },}$ 

${\displaystyle c^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta +(b\sin \alpha -a\sin \theta )^{2},\,}$ 

${\displaystyle b\sin \alpha =a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }},\,}$ 

${\displaystyle r^{2}=b^{2}\cos ^{2}\alpha =b^{2}-b^{2}\sin ^{2}\alpha =b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.,\,}$ 

直角座标系

将极座标方式展开可得

${\displaystyle r^{2}=b^{2}-(a^{2}\sin ^{2}\theta \ +c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}$ 

${\displaystyle r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2a^{2}\sin ^{2}\theta =\pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}$ 

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})\sin ^{2}\theta +4a^{4}\sin ^{4}\theta =4a^{2}\sin ^{2}\theta (c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta ),\,}$ 

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-b^{2})\sin ^{2}\theta =0,\,}$ 

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,}$ 

令d ²=a²+b²–c² 因此可简化上式为:${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,}$ 

当曲线通过原点时，原点为拐点，因此有3阶接触切线。不过若a²=b²+<c²，则有5阶接触切线，换句话说此曲线相当接近直线，这就是瓦特连杆（英语：Watt's linkage）可以作为直线运动机构的原理。

• 平面四杆机构
• 瓦特连杆（英语：Watt's linkage）

• 埃里克·韦斯坦因. Watt's Curve. MathWorld. 
• 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊（英语：Edmund F. Robertson）, Watt's Curve, MacTutor数学史档案 （英语） 
• "Courbe de Watt" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （页面存档备份，存于互联网档案馆） (in French)
• Catalan, E. Sur la Courbe de Watt. Mathesis. 1885, V: 154. 
• Rutter, John W. Geometry of Curves. CRC Press. 2000: 73ff. ISBN 1-58488-166-6.